(a)Verifique o teorema do divergente para a função v → 1 = r 2 r ^ , usando, como volume, a esfera de raio R centrada na origem.

(b)Faça o mesmo para v → 2 = ( 1 / r 2 ) r ^ . (Se a resposta surpreender, consulte o Problema 1.16).

Passo 1

(a)E aí, galera! Vamos começar essa questão relembrando o teorema do divergente:

∫ V ( ∇ ⋅ v → ) d τ = ∮ S v ⋅ d a →

Primeiro, vamos fazer a integral de volume. Temos, usando o divergente para coordenadas esféricas (dá uma olhadinha no final do livro caso você não lembre)

∇ ⋅ v → = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 v   r ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 r 2 ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 4 ) = 1 r 2 4 r 3 = 4 r

Assim, lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por r 2 s e n   θ d r   d θ d ϕ , obtemos a integral

∫ V ( ∇ ⋅ v → ) d τ = ∫ V ( 4 r ) r 2 s e n   θ d r   d θ d ϕ = 4 ∫ 0 R r 3 d r ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ = 4 ⋅ R 4 4 ⋅ 2 ⋅ 2 π = 4 π R 4

onde usamos ∫ 0 π s e n   θ d θ = 2 e ∫ 0 2 π d ϕ = 2 π .

Agora, vamos ver a integral de superfície. O elemento de área tem módulo R 2 s e n   θ d θ d ϕ (a gente já usa o raio R da esfera porque ele não muda durante a integração) e aponta radialmente, ou seja, na direção de r ^ . Então,

v ⋅ d a → = R 2 R 2 s e n   θ d θ d ϕ r ^ ⋅ r ^ = R 4 s e n θ d θ d ϕ

Na última igualdade a gente usou a condição de unitariedade r ^ ⋅ r ^ = 1 . Beleza, então agora podemos calcular a integral de superfície:

∮ S v ⋅ d a → = R 4 ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Nós acabamos de usar o resultado dessas integrais: ∫ 0 π s e n   θ d θ = 2 e ∫ 0 2 π d ϕ = 2 π . Então, nosso trabalho aqui é só substituir

∮ S v ⋅ d a → = R 4 ⋅ 2 ⋅ 2 π = 4 π R 4

Check!

Passo 2

(b)Agora, vamos fazer exatamente a mesma coisa para v → 2 = ( 1 / r 2 ) r ^ . Então, vamos ser um pouco mais diretos nesse item. Temos

∇ ⋅ v → = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 v   r ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 1 r 2 ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( 1 ) = 0

Então, a integral no volume é nula:

∫ V ( ∇ ⋅ v → ) d τ = 0

Por outro lado, temos

v ⋅ d a → = 1 R 2 R 2 s e n   θ d θ d ϕ = s e n   θ d θ d ϕ

Assim,

∮ S v ⋅ d a → = ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ = 4 π

Mas, pera aí! Os dois resultados deveriam ser iguais devido ao teorema do divergente. Mas calma que tem um pequeno detalhe. A divergência ∇ ⋅ 1 r 2 é igual a zero para quase todos os casos, menos na origem. Nesse caso, o valor correto da integral de volume é ∫ V ( ∇ ⋅ v → ) d τ = 4 π .

Estranho, né? Calma, na próxima seção do livro a gente vai estudar a função delta de Dirac e aí você vai ver que isso faz todo o sentido. Por enquanto, eu me despeço por aqui. Até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.