(a)Verifique o teorema do divergente para a função , usando, como volume, a esfera de raio centrada na origem.
(b)Faça o mesmo para . (Se a resposta surpreender, consulte o Problema 1.16).
Passo 1
(a)E aí, galera! Vamos começar essa questão relembrando o teorema do divergente:
Primeiro, vamos fazer a integral de volume. Temos, usando o divergente para coordenadas esféricas (dá uma olhadinha no final do livro caso você não lembre)
Assim, lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por , obtemos a integral
onde usamos e .
Agora, vamos ver a integral de superfície. O elemento de área tem módulo (a gente já usa o raio da esfera porque ele não muda durante a integração) e aponta radialmente, ou seja, na direção de . Então,
Na última igualdade a gente usou a condição de unitariedade . Beleza, então agora podemos calcular a integral de superfície:
Nós acabamos de usar o resultado dessas integrais: e . Então, nosso trabalho aqui é só substituir
Check!
Passo 2
(b)Agora, vamos fazer exatamente a mesma coisa para . Então, vamos ser um pouco mais diretos nesse item. Temos
Então, a integral no volume é nula:
Por outro lado, temos
Assim,
Mas, pera aí! Os dois resultados deveriam ser iguais devido ao teorema do divergente. Mas calma que tem um pequeno detalhe. A divergência é igual a zero para quase todos os casos, menos na origem. Nesse caso, o valor correto da integral de volume é .
Estranho, né? Calma, na próxima seção do livro a gente vai estudar a função delta de Dirac e aí você vai ver que isso faz todo o sentido. Por enquanto, eu me despeço por aqui. Até a próxima!
Resposta
Veja a resolução acima.