Verifique o teorema de Stokes usando a função v = a y   x ^ + b x   y ^ ( a e b são constantes) e o caminho circular de raio R , centrado no plano x y . [Resposta: π R 2 ( b - a ) ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? O teorema de Stokes nos diz o seguinte:

∫ ( ∇ × v ) d a = ∮ v . d l

Então, para verificarmos o teorema de Stokes, temos que calcular o seguinte:

∮ v . d l

E acharmos π R 2 ( b - a ) , que é o que o teorema de Stokes resulta. Bora lá!!!

Passo 2

Primeiro vamos calcular pelo teorema de Stokes.

∇ × v = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a y b x 0 = z ^ ( b - a )

Sendo assim, como temos um caminho circular.

∫ ( ∇ × v ) d a = π R 2 ( b - a )

Agora, nos resta verificar!!

Passo 3

O v . d l pode ser escrito como:

v . d l = a y   x ^ + b x   y ^ . ( d x   x ^ + d y   y ^ + d z   z ^ )  

v . d l = a y   d x + b x   d y

Como o caminho é circular, porém, vamos calcular pelo semicírculo e depois multiplicarmos por 2, podemos escrever a seguinte relação.

x 2 + y 2 = R 2

Derivando implicitamente.

2 x   d x + 2 y   d y = 0

d y = - x y d x

Substituindo na equação de v . d l .

v . d l = a y   d x + b x - x y d x

v . d l = 1 y a y 2 - b x 2 d x

Para deixarmos somente a variável x , vamos fazer a seguinte substituição: y = R 2 - x 2 .

v . d l = a R 2 - x 2 - b x 2 R 2 - x 2

Pronto, agora basta colocarmos na integral e finalizarmos a questão!!

∫ R - R a R 2 - x 2 - b x 2 R 2 - x 2 d x

a R 2 s e n - 1   x R - ( a + b ) ( - x 2 R 2 - x 2 + R 2 2 s e n - 1   x R R - R

( a - b ) R 2 2 s e n - 1   x R R - R

1 2 R 2 a - b - π 2 - π 2

1 2 π R 2 ( b - a )

Multiplicando o semicírculo por 2.

π R 2 ( b - a )

Então, como encontramos o mesmo resultado, verificamos o teorema de Stokes.

Resposta

1 2 π R 2 ( b - a )