Você talvez tenha notado que o operador gradiente quadridimensional ∂ / ∂ x μ funciona como um quadrivetor covariante — inclusive ele é muitas vezes escrito de forma abreviada ∂ μ . Por exemplo, a equação de continuidade ∂ μ J μ = 0 , tem a forma de um produto invariante de dois vetores. O gradiente contravariante correspondente seria ∂ μ = ∂ / ∂ x μ . Prove que ∂   μ ϕ é um quadrivetor (contravariante), se ϕ for uma função escalar, calculando a sua lei de transformação, usando a regra da cadeia.

Passo 1

Fala, meu povo! Tudo jóia? Então, sem mais delongas, vamos ao que interessa!

Temos que mostrar que ∂   μ ϕ se transforma como um quadrivetor contravariante quando mudamos o sistema de coordenadas. Para isso, temos que

∂ ' 0 ϕ = ∂ ∂ x ' 0 ϕ = - 1 c ∂ ∂ t ' ϕ = - 1 c ∂ ϕ ∂ t ∂ t ∂ t ' + ∂ ϕ ∂ x ∂ x ∂ t ' + ∂ ϕ ∂ y ∂ y ∂ t ' + ∂ ϕ ∂ z ∂ z ∂ t '

Na equação 12.19 vimos as transformações de Lorentz. Assim, temos ∂ t ∂ t ' = γ , ∂ x ∂ t ' = γ v e ∂ y ∂ t ' = ∂ z ∂ t ' = 0 . Então,

∂ ' 0 ϕ = - 1 c ∂ ϕ ∂ t γ + ∂ ϕ ∂ x γ v = - γ c ∂ ϕ ∂ t + ∂ ϕ ∂ x v

Como x 0 = - x 0 = - c t , então

∂ ' 0 ϕ = - γ c ∂ ϕ ∂ t + ∂ ϕ ∂ x v = γ ∂ ϕ ∂ x 0 - ∂ ϕ ∂ x 1 v c = γ ∂ 0 ϕ - β ∂ 1 ϕ

Passo 2

Vamos calcular ∂ ' 1 ϕ também:

∂ ' 1 ϕ = ∂ ∂ x ' 1 ϕ = ∂ ∂ x ' ϕ = ∂ ϕ ∂ t ∂ t ∂ x ' + ∂ ϕ ∂ x ∂ x ∂ x ' + ∂ ϕ ∂ y ∂ y ∂ x ' + ∂ ϕ ∂ z ∂ z ∂ x '

como ∂ t ∂ x ' = v c 2 γ , ∂ x ∂ x ' = γ e ∂ y ∂ x ' = ∂ z ∂ x ' = 0 temos

∂ ' 1 ϕ = ∂ ϕ ∂ t v c 2 γ + ∂ ϕ ∂ x γ = γ ∂ ϕ ∂ x 1 - ∂ ϕ ∂ x 0 v c = γ ∂ 1 ϕ - β ∂ 0 ϕ

Passo 3

Agora só resta calcular

∂ ' 2 ϕ = ∂ ∂ x ' 2 ϕ = ∂ ∂ y ' ϕ = ∂ ϕ ∂ t ∂ t ∂ y ' + ∂ ϕ ∂ x ∂ x ∂ y ' + ∂ ϕ ∂ y ∂ y ∂ y ' + ∂ ϕ ∂ z ∂ z ∂ y '

∂ ' 3 ϕ = ∂ ∂ x ' 3 ϕ = ∂ ∂ z ' ϕ = ∂ ϕ ∂ t ∂ t ∂ z ' + ∂ ϕ ∂ x ∂ x ∂ z ' + ∂ ϕ ∂ y ∂ y ∂ z ' + ∂ ϕ ∂ z ∂ z ∂ z '

Já que ∂ t ∂ y ' = ∂ x ∂ y ' = ∂ z ∂ y ' = ∂ t ∂ z ' = ∂ x ∂ z ' = ∂ y ∂ z ' = 0 e ∂ y ∂ y ' = ∂ z ∂ z ' = 1 , então,

∂ ' 2 ϕ = ∂ ϕ ∂ y = ∂ 2 ϕ

∂ ' 3 ϕ = ∂ ϕ ∂ z = ∂ 3 ϕ

Com isso, vemos que ∂   μ ϕ se transforma exatamente como um vetor covariante, de acordo com a equação 12.27.

Resposta

Veja a resolução acima.