Você talvez tenha notado que o operador gradiente quadridimensional funciona como um quadrivetor covariante — inclusive ele é muitas vezes escrito de forma abreviada . Por exemplo, a equação de continuidade , tem a forma de um produto invariante de dois vetores. O gradiente contravariante correspondente seria . Prove que é um quadrivetor (contravariante), se for uma função escalar, calculando a sua lei de transformação, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Fala, meu povo! Tudo jóia? Então, sem mais delongas, vamos ao que interessa!
Temos que mostrar que se transforma como um quadrivetor contravariante quando mudamos o sistema de coordenadas. Para isso, temos que
Na equação 12.19 vimos as transformações de Lorentz. Assim, temos , e . Então,
Como , então
Passo 2
Vamos calcular também:
como , e temos
Passo 3
Agora só resta calcular
Já que e , então,
Com isso, vemos que se transforma exatamente como um vetor covariante, de acordo com a equação 12.27.
Resposta
Veja a resolução acima.