Enunciado

Se você tomar o modelo do Exemplo 4.1 pelo seu valor nominal, qual será a frequência obtida? Coloque os números de fato. Onde isso se posiciona no espectro eletromagnético, assumindo que o raio do átomo é 0,5   A n g s t r o m ? Encontre os coeficientes de refração e dispersão e compare-os do hidrogênio a 0° C e pressão atmosférica: A = 1,36 × 10 - 4 ,   B = 7,7 × 10 - 15   m 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Pelo modelo do Ex. 4.1 a força que atua sobre o núcleo e, pela terceira lei de Newton, a força pela qual o núcleo atua sobre a nuvem de elétrons é:

F = - q 2 r 4 π ϵ 0 R 3 → m e r ' ' = - q 2 r 4 π ϵ 0 R 3

Com isso, nós temos que

r ' ' + q 2 4 π ϵ 0 R 3 m = 0

Então, ω é

ω 0 = q 4 π ϵ 0 R 3 m e

Usando os valores das constantes, a frequência é:

R = 0,5   A = 0,5 ∙ 10 - 10   m

q = 1,609 ∙ 10 - 19   C

m e = 9,11 ∙ 10 - 31   k g

Portanto, a frequência é dada por

f = ω 0 2 π = 7,19 ∙ 10 15   H z

que está no espectro UV.

Passo 2

Para uma única ressonância, o índice de refração é igual a:

n = 1 + N q 2 2 m e ϵ 0 f ω 0 2 + ω 2 N q 2 2 m e ϵ 0 f ω 0 4

onde f é o número de partículas sobre as quais a força motriz está agindo. Precisamos reformular isso em uma forma em que possamos reconhecer a refração A e a dispersão B:

n = 1 + N q 2 f 2 m ϵ 0 ω 0 2 1 + ω 2 ω 0 2

Como ω = k c = 2 π c λ , logo,

n = 1 + N q 2 f 2 m ϵ 0 ω 0 2 1 + 2 π c ω 0 2 1 λ 2

Portanto,

A =   N q 2 f 2 m ϵ 0 ω 0 2 ;   B = 2 π c ω 0 2

Passo 3

Para uma molécula de H 2 que tem o f = 2 e N é o número por volume. Um mol de gás ocupa 22,4 L de espaço (volume molar), então:

N = N A V m = 2,69 ∙ 10 25   m - 3

Logo, o A

A ≈ 4,22 ∙ 10 - 5

Usando o valor da frequência natural do passo 1, a dispersão é:

B ≈ 1,74 ∙ 10 - 15

A é cerca de 3 vezes menor que o valor medido e B é cerca de 4 vezes menor.

Resposta

f ≈ 7,19 ∙ 10 15   H z

A ≈ 4,22 ∙ 10 - 5

B ≈ 1,74 ∙ 10 - 15