Um cilindro metálico, utilizado como corpo de prova, é submetido a um ensaio de tração com uma força de 20 kN . O corpo de prova possui um diâmetro inicial de 12 mm e um comprimento inicial de 250 mm . Durante o ensaio, observa-se:
- Um alongamento total de 15 mm no comprimento;
- Uma redução de
no diâmetro.
Com base nessas informações, responda:
a) Determine o módulo de elasticidade longitudinal (E) do material;
b) Encontre o coeficiente de Poisson (
) do material;
c) Calcule o módulo de elasticidade transversal ( G ) do material;
d) Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e) Por que o módulo de elasticidade (E) é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?
a) Determine o módulo de elasticidade longitudinal (E) do material;
b) Encontre o coeficiente de Poisson (
c) Calcule o módulo de elasticidade transversal ( G ) do material;
d) Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e) Por que o módulo de elasticidade (E) é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?
Passo 1
O enunciado dá um corpo-de-prova cilíndrico submetido a tração e pede várias propriedades elásticas. Dados fornecidos (vou listá‑los todos explicitamente):
Perguntas a responder:
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal .
b) Encontrar o coeficiente de Poisson .
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) .
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele relaciona deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que é importante na escolha de materiais em projetos.
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal
b) Encontrar o coeficiente de Poisson
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento)
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele relaciona deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que
Passo 2
Calcular a área da seção transversal original do cilindro (usarei mm para ficar consistente com as medidas de comprimento):
A área de um círculo é . Aqui
é o diâmetro inicial.
A área de um círculo é
(ou seja, usei
e calculei
.)
Passo 3
Calcular a tensão normal média (tensão axial) aplicada
. A tensão é força por área:
Usando
e
em
, a unidade resultante é N/mm
(que equivale a MPa):
(Arredondarei depois conforme for conveniente.)
Passo 4
Calcular a deformação longitudinal (deformação normal)
. A definição de deformação axial (pequena) é razão entre a variação de comprimento e o comprimento inicial:
Substituindo:
Interpretação:
significa um alongamento de
.
Passo 5
Determinar o módulo de elasticidade longitudinal
usando a lei de Hooke na forma linear (válida na zona elástica):
. Aqui
tem unidades de pressão (MPa ou GPa).
Convertendo para GPa:
Comentário didático:
mede a rigidez do material na direção do carregamento — quanto maior
, menor a deformação para uma mesma tensão. A dedução usada é direta: tensão dividida por deformação.
Passo 6
Calcular a deformação transversal (na direção do diâmetro)
. A deformação transversal é a variação do diâmetro sobre o diâmetro inicial:
Aqui
(redução), portanto:
Interpretação: o sinal negativo indica contração transversal.
Passo 7
Calcular o coeficiente de Poisson
. Por definição:
Substituindo os valores calculados:
A interpretação física é a relação entre quanto o material se aproxima lateralmente quando é alongado axialmente.
Passo 8
Calcular o módulo de cisalhamento
(módulo elástico transversal) a partir de
e
para um material isotrópico linear. A relação é:
Explicação: esta fórmula vem da teoria da elasticidade linear isotrópica que relaciona
,
e
. Substituindo:
Convertendo para GPa:
Passo 9
Explicação didática do coeficiente de Poisson (pergunta d):
O coeficiente de Poisson é uma constante adimensional que quantifica a relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal sob tração ou compressão uniaxial. A definição prática é
O coeficiente de Poisson
Significado: quando você puxa um corpo (deforma positivamente em comprimento), ele normalmente afina (deformação transversal negativa). Se
for maior, mais afinamento ocorre para a mesma deformação axial. Valores típicos para materiais isotrópicos comuns ficam entre
e
(ex.: aço perto de
). Um
indica comportamento anômalo para elasticidade linear isotrópica — na prática pode significar que o corpo já saiu da zona elástica (plástico) ou que os valores medidos não estão na hipótese linear elástica.
Passo 10
Por que
é importante na escolha de materiais (pergunta e):
-
determina a rigidez: para a mesma carga, um material com maior deforma menos. Em estruturas isso controla flechas, folgas e tolerâncias. - Projetos que exigem pouca deformação (e.g., eixos, vigas que não devem vibrar muito, precisão dimensional) exigem materiais com
alto. -
também entra em cálculos de tensões, frequências naturais, estabilidade (encurvadura), e dimensionamento — por isso é uma propriedade-chave na seleção de materiais.
Observação prática: o valor numérico deobtido aqui ( ) é muito baixo para um aço comum; combinado com (acima de ) indica que o ensaio, como medido, provavelmente já envolveu deformação plástica, então a hipótese de linearidade elástica está violada. Em provas de tração reais, para obter e elásticos deve-se medir apenas na região inicial linear (pequenas deformações).
Resposta
a)
b)
c)
d) O coeficiente de Poisson é
; relaciona a contração transversal com o alongamento longitudinal (quanto maior
, maior a contração lateral para a mesma deformação axial).
e) O módulo de elasticidade mede a rigidez do material; é crucial em projetos porque controla deformações, flechas, frequências naturais e estabilidade estrutural — materiais mais rígidos (maior
) deformam menos sob a mesma carga.
b)
c)
d) O coeficiente de Poisson
e) O módulo de elasticidade