(4,00) Um cilindro metálico, utilizado como corpo de prova, é submetido a um ensaio de tração com uma força de 20 kN . O corpo de prova possui um diâmetro inicial de 12 mm e um comprimento inicial de 250 mm . Durante o ensaio, observa-se:
  • Um alongamento total de 15 mm no comprimento;
  • Uma redução de 0,65 \mathrm{~mm} no diâmetro.
Com base nessas informações, responda:
a) Determine o módulo de elasticidade longitudinal (E) do material;
b) Encontre o coeficiente de Poisson ( v ) do material;
c) Calcule o módulo de elasticidade transversal ( G ) do material;
d) Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e) Por que o módulo de elasticidade (E) é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?

Passo 1

O enunciado dá um corpo-de-prova cilíndrico submetido a tração e pede várias propriedades elásticas. Dados fornecidos (vou listá‑los todos explicitamente):
F = 20{,}0\\ \text{kN} = 20000\\ \text{N}
d_0 = 12{,}0\\ \text{mm}
L_0 = 250{,}0\\ \text{mm}
\Delta L = 15{,}0\\ \text{mm}\quad\text{(alongamento total)}
\Delta d = -0{,}65\\ \text{mm}\quad\text{(redução do diâmetro, i.e. diâmetro final }d_f=d_0+\Delta d)çãââ
Perguntas a responder:
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal E.
b) Encontrar o coeficiente de Poisson v.
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) G.
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele relaciona deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que E é importante na escolha de materiais em projetos.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal original do cilindro (usarei mm para ficar consistente com as medidas de comprimento):
A área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi d_0^2}{4}. Aqui d_0 é o diâmetro inicial.
d_0^2 = 12{,}0^2 = 144{,}0\\ \text{mm}^2
A=\frac{\pi\cdot 144{,}0}{4}=\pi\cdot 36{,}0 \approx 113{,}097\\ \text{mm}^2
(ou seja, usei \pi\approx 3{,}14159265 e calculei 36\pi.)

Passo 3

Calcular a tensão normal média (tensão axial) aplicada \sigma. A tensão é força por área:
\sigma=\frac{F}{A}.
Usando F=20000\\ \text{N} e A em \text{mm}^2, a unidade resultante é N/mm ^2 (que equivale a MPa):
\sigma=\frac{20000}{113{,}097}\approx 176{,}777\\ \text{N/mm}^2 = 176{,}777\\ \text{MPa}.
(Arredondarei depois conforme for conveniente.)

Passo 4

Calcular a deformação longitudinal (deformação normal) \varepsilon_{\ell}. A definição de deformação axial (pequena) é razão entre a variação de comprimento e o comprimento inicial:
\varepsilon_{\ell}=\frac{\Delta L}{L_0}.
Substituindo:
\varepsilon_{\ell}=\frac{15{,}0}{250{,}0}=0{,}06.
Interpretação: \varepsilon_{\ell}=0{,}06 significa um alongamento de 6\%.

Passo 5

Determinar o módulo de elasticidade longitudinal E usando a lei de Hooke na forma linear (válida na zona elástica): \displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\ell}}. Aqui E tem unidades de pressão (MPa ou GPa).
E=\frac{176{,}777\\ \text{MPa}}{0{,}06}\approx 2946{,}29\\ \text{MPa}.
Convertendo para GPa:
E\approx 2{,}946\\ \text{GPa}.
Comentário didático: E mede a rigidez do material na direção do carregamento — quanto maior E, menor a deformação para uma mesma tensão. A dedução usada é direta: tensão dividida por deformação.

Passo 6

Calcular a deformação transversal (na direção do diâmetro) \varepsilon_t. A deformação transversal é a variação do diâmetro sobre o diâmetro inicial:
\varepsilon_t=\frac{\Delta d}{d_0}.
Aqui \Delta d=-0{,}65\\ \text{mm} (redução), portanto:
\varepsilon_t=\frac{-0{,}65}{12{,}0}=-0{,}054166\ldots \approx -0{,}05417.
Interpretação: o sinal negativo indica contração transversal.

Passo 7

Calcular o coeficiente de Poisson v. Por definição:
v=-\frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_{\ell}}.
Substituindo os valores calculados:
v=-\frac{-0{,}054166\ldots}{0{,}06}\approx 0{,}90278\ldots \approx 0{,}9028.
A interpretação física é a relação entre quanto o material se aproxima lateralmente quando é alongado axialmente.

Passo 8

Calcular o módulo de cisalhamento G (módulo elástico transversal) a partir de E e v para um material isotrópico linear. A relação é:
G=\frac{E}{2(1+v)}.
Explicação: esta fórmula vem da teoria da elasticidade linear isotrópica que relaciona E, G e v. Substituindo:
G=\frac{2946{,}29\\ \text{MPa}}{2(1+0{,}90278)}=\frac{2946{,}29}{2\cdot 1{,}90278}\approx \frac{2946{,}29}{3{,}80556}\approx 774{,}28\\ \text{MPa}.
Convertendo para GPa:
G\approx 0{,}774\\ \text{GPa}.

Passo 9

Explicação didática do coeficiente de Poisson (pergunta d):
O coeficiente de Poisson v é uma constante adimensional que quantifica a relação entre a deformação transversal e a deformação longitudinal sob tração ou compressão uniaxial. A definição prática é
v=-\frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_{\ell}}.
Significado: quando você puxa um corpo (deforma positivamente em comprimento), ele normalmente afina (deformação transversal negativa). Se v for maior, mais afinamento ocorre para a mesma deformação axial. Valores típicos para materiais isotrópicos comuns ficam entre 0 e 0{,}5 (ex.: aço perto de 0{,}3). Um v>0{,}5 indica comportamento anômalo para elasticidade linear isotrópica — na prática pode significar que o corpo já saiu da zona elástica (plástico) ou que os valores medidos não estão na hipótese linear elástica.

Passo 10

Por que E é importante na escolha de materiais (pergunta e):
  • E determina a rigidez: para a mesma carga, um material com E maior deforma menos. Em estruturas isso controla flechas, folgas e tolerâncias.
  • Projetos que exigem pouca deformação (e.g., eixos, vigas que não devem vibrar muito, precisão dimensional) exigem materiais com E alto.
  • E também entra em cálculos de tensões, frequências naturais, estabilidade (encurvadura), e dimensionamento — por isso é uma propriedade-chave na seleção de materiais.
    Observação prática: o valor numérico de E obtido aqui ( \approx 2{,}95\\ \text{GPa}) é muito baixo para um aço comum; combinado com v\approx0{,}903 (acima de 0{,}5) indica que o ensaio, como medido, provavelmente já envolveu deformação plástica, então a hipótese de linearidade elástica está violada. Em provas de tração reais, para obter E e v elásticos deve-se medir apenas na região inicial linear (pequenas deformações).

Resposta

a) E\approx 2946{,}29\\ \text{MPa} \; (=2{,}946\\ \text{GPa})
b) v\approx 0{,}9028
c) G\approx 774{,}28\\ \text{MPa} \; (=0{,}774\\ \text{GPa})
d) O coeficiente de Poisson v é v=-\dfrac{\varepsilon_t}{\varepsilon_{\ell}}; relaciona a contração transversal com o alongamento longitudinal (quanto maior v, maior a contração lateral para a mesma deformação axial).
e) O módulo de elasticidade E mede a rigidez do material; é crucial em projetos porque controla deformações, flechas, frequências naturais e estabilidade estrutural — materiais mais rígidos (maior E) deformam menos sob a mesma carga.

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