Se
a
e 1 atm e a temperatura de Boyle para o gás é 107 K , faça uma estimativa dos valores de a e de b. (São necessários apenas os primeiros dois termos da expressão de Z)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o fator de compressibilidade
de um gás real. O enunciado nos dá
a 0°C e 1 atm, além da temperatura de Boyle que é 107 K. A missão aqui é estimar os valores das constantes
e
da equação de Van der Waals usando só os dois primeiros termos da expressão de
. Para isso, vamos precisar entender como o fator de compressibilidade se relaciona com
e
e como a temperatura de Boyle entra nessa jogada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fator de compressibilidade
relaciona o comportamento do gás real ao ideal e é dado pela equação:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume molar, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Para gases reais, podemos expandir
em uma série de virial:
Como o enunciado pede para usar apenas os dois primeiros termos, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a equação de Van der Waals, que é uma forma de ajustar a equação dos gases ideais para levar em conta as interações entre as moléculas e o volume ocupado pelas próprias moléculas. A equação de Van der Waals é:
Dividindo tudo por
, temos:
Isso simplifica para:
Comparando com a expansão de virial, identificamos:
Passo 4
Sabemos que na temperatura de Boyle (
K), o segundo coeficiente virial
é zero. Então:
Isso nos dá a relação:
Passo 5
Agora, vamos usar os dados fornecidos. A pressão
atm e a temperatura
K (0°C). Primeiro, convertemos a pressão para pascais:
Usando a relação entre
e
:
Mas precisamos relacionar
com as outras variáveis. Como isso pode complicar, uma abordagem mais direta é usar a relação encontrada no Passo 4.
Passo 6
Usando
e conhecendo
K, podemos expressar
em função de
.
Agora, vamos usar o valor de
para encontrar outra equação relacionando
e
. Substituindo na expressão de
:
Como não temos
, fazeremos uma aproximação usando a equação dos gases ideais:
Substituindo na equação de
:
Passo 7
Agora temos duas equações:
Substituindo a equação 1 na equação 2:
Isolando
:
Passo 8
Agora, basta substituir os valores:
-
-
K -
K -
Pa
Calculando
:
Passo 9
Agora, usando
:
Resposta
Portanto, os valores estimados são: