Se Z=1,00054 a 0^circ C e 1 atm e a temperatura de Boyle para o gás é 107 K , faça uma estimativa dos valores de a e de b. (São necessários apenas os primeiros dois termos da expressão de Z)
R: a=0,018 Pa m^6 / mol^2, b=2,0 times 10^-5 m^3 / mol

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o fator de compressibilidade de um gás real. O enunciado nos dá a 0°C e 1 atm, além da temperatura de Boyle que é 107 K. A missão aqui é estimar os valores das constantes e da equação de Van der Waals usando só os dois primeiros termos da expressão de . Para isso, vamos precisar entender como o fator de compressibilidade se relaciona com e e como a temperatura de Boyle entra nessa jogada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fator de compressibilidade Z = P VmR T relaciona o comportamento do gás real ao ideal e é dado pela equação:
Z = 1 + BVm + CVm^2 + dots
Onde:
  • Z approx 1 + BVm é a pressão,
  • é o volume molar,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.
Para gases reais, podemos expandir em uma série de virial:
Como o enunciado pede para usar apenas os dois primeiros termos, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a equação de Van der Waals, que é uma forma de ajustar a equação dos gases ideais para levar em conta as interações entre as moléculas e o volume ocupado pelas próprias moléculas. A equação de Van der Waals é:
( P + aVm^2 ) (Vm - b) = R T
Dividindo tudo por Z = P VmR T = P (Vm - b)R T + aR T Vm , temos:
Z = 1 - b PR T + aR T Vm
Isso simplifica para:
B = -b + aR T
Comparando com a expansão de virial, identificamos:

Passo 4

Sabemos que na temperatura de Boyle ( 0 = -b + aR TB K), o segundo coeficiente virial a = b R TB é zero. Então:
Isso nos dá a relação:

Passo 5

Agora, vamos usar os dados fornecidos. A pressão 1 atm = 101325 Pa atm e a temperatura Z = 1 + BVm K (0°C). Primeiro, convertemos a pressão para pascais:
Usando a relação entre e :
Mas precisamos relacionar com as outras variáveis. Como isso pode complicar, uma abordagem mais direta é usar a relação encontrada no Passo 4.

Passo 6

Usando 1,00054 = 1 - b PR T + aR T Vm e conhecendo Vm = R TP K, podemos expressar 1,00054 = 1 - b PR T + aR T ( R TP ) = 1 - b PR T + a P(R T)^2 em função de .
Agora, vamos usar o valor de para encontrar outra equação relacionando e . Substituindo na expressão de :
Como não temos , fazeremos uma aproximação usando a equação dos gases ideais:
Substituindo na equação de :

Passo 7

Agora temos duas equações:
  1. 0,00054 = - b PR T + b R TB P(R T)^2 = b P ( -1R T + TBR T^2 )
  2. b = 0,00054P ( -1R T + TBR T^2 ) = 0,00054 R T^2P ( - T + TB )
Substituindo a equação 1 na equação 2:
Isolando :

Passo 8

Agora, basta substituir os valores:
  • b = 0,00054 times 8,314 times 273^2101325 times ( -273 + 107 ) approx 2,0 times 10^-5 , m^3/mol
  • K
  • K
  • Pa
Calculando :

Passo 9

Agora, usando a = 2,0 times 10^-5 times 8,314 times 107 approx 0,018 , Pa·m^6/mol^2 :

Resposta

Portanto, os valores estimados são:
a = 0,018 , Pa cdot m^6/mol^2
b = 2,0 times 10^-5 , m^3/mol

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