01(5,0) - Considere uma onda eletromagnética plana que se propaga num cristal de Ge dada pelas expressões \mathrm{E}_{\mathrm{x}}=0, \mathrm{E}_{\mathrm{y}}=\pi^{2} \cdot \cos \left[\pi \cdot(\mathrm{t}-\mathrm{x} / 0,25 \mathrm{c}) \cdot 10^{15}+3 \pi / 2\right] \mathrm{V} / \mathrm{cm}, \mathrm{E}_{\mathrm{z}}=0.
(c) Détermine a energia do fóton correspondente a esta onda EM ( \mathrm{h}= \left.6,6261 \times 10^{-34} \mathrm{~J} . \mathrm{s}\right).

Passo 1

O enunciado dá a expressão do campo elétrico da onda plana no cristal de Ge (peguei a expressão do enunciado):
E_x=0,\qquad E_y=\pi^{2}\cdot\cos\!\big[\pi\cdot\big(t-\tfrac{x}{0,25\,c}\big)\cdot10^{15}+\tfrac{3\pi}{2}\big]\\ \mathrm{V/cm},\qquad E_z=0.
O que é pedido:
  • (c) Determinar a energia do fóton correspondente a esta onda eletromagnética.
    Informação adicional dada: a constante de Planck
h=6,6261\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 2

Entender como extrair a frequência temporal da expressão de onda.
Explicação didática: uma onda harmónica plana em uma dimensão costuma aparecer na forma
\cos(\omega t - k x + \varphi),
onde \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}) e \varphi é uma fase constante. A frequência comum f (em Hz) relaciona-se com \omega por
\omega = 2\pi f.
Agora reescrevemos o argumento do cosseno dado para identificar o coeficiente multiplicando t:
\pi\cdot\big(t-\tfrac{x}{0,25\,c}\big)\cdot10^{15}+\tfrac{3\pi}{2} = \big(\pi\cdot10^{15}\big)\,t \;-\; \big(\pi\cdot10^{15}\big)\tfrac{x}{0,25\,c} \;+\; \tfrac{3\pi}{2}.
Portanto o termo que multiplica t é \omega=\pi\cdot10^{15} (em \mathrm{rad/s}).

Passo 3

Calcular a frequência f a partir de \omega.
Usando \omega=2\pi f, temos
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi\cdot10^{15}}{2\pi}=\frac{10^{15}}{2}=5\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Breve comentário: aqui a simplificação \pi/(2\pi)=1/2 é exata, então a frequência fica \,5\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Fórmula para a energia do fóton e significado das variáveis.
A energia de um fóton é dada por
E_{\text{fóton}} = h\,f,ó
onde h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s}) e f é a frequência (unidade: \mathrm{Hz}). Isso vem da quantização da energia da radiação eletromagnética: cada fóton carrega energia proporcional à frequência.

Passo 5

Substituir os valores e calcular em joules.
Temos h=6,6261\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e f=5\cdot10^{14}\\ \mathrm{Hz}. Então
E_{\text{fóton}}=6,6261\times10^{-34}\cdot5\times10^{14}=3,31305\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos (os dados originais dão cerca de 5 algarismos em h), pode-se escrever
E_{\text{fóton}}\approx3,3131\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 6

Conversão opcional para elétron-volt (unidade frequentemente usada em física).
Explicação: 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
E_{\text{fóton}}(\mathrm{eV})=\frac{3,31305\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx2,0678\\ \mathrm{eV}.ó

Resposta

E_{\text{fóton}}\approx3,3131\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó
E_{\text{fóton}}\approx2,0678\\ \mathrm{eV}ó