Deve-se escrever A como produto de matrizes elementares (cada matriz elementar corresponde a uma única operação elementar de linha aplicada à identidade).]
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida e prática):
Uma matriz elementar é obtida ao aplicar UMA operação elementar de linha na matriz identidade I. As operações elementares de linha são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E equivale a aplicar a operação de linha correspondente em M.
Toda matriz invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Se, por uma sequência de matrizes elementares F_1,F_2,\dots,F_r obtemosF_r\cdots F_2 F_1 A = I,então A = (F_r\cdots F_2 F_1)^{-1} = F_1^{-1} F_2^{-1}\cdots F_r^{-1}. Cada F_i^{-1} também é elementar (inverso de uma operação elementar é outra operação elementar simples).
Plano prático: reduzir A a I por operações de linha (registrando as matrizes elementares F_i que fazem cada operação). Depois escrever A como produto dos inversos dessas F_i em ordem inversa.
Passo 3
Começo da eliminação por linhas (cada passo mostra a operação de linha, a matriz elementar correspondente F_i e a matriz resultante). Vamos anotar as operações que transformam A em I.
Operação 2: eliminar o elemento na posição (3,2) usando R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{1}{3}R_{2} (repare que o novo R_2 vale [0,-3,-4], por isso o multiplicador \tfrac{1}{3} elimina o 1 em (3,2)).
Cada F_i^{-1} é também uma matriz elementar simples: inverter uma adição muda o sinal do múltiplo; inverter uma escala usa o recíproco.]
Passo 11
Escrever explicitamente os inversos (vou chamar agora as matrizes elementares finais de E_{1},\ldots,E_{7} definidas como E_{i}=F_{i}^{-1}). Calculando inversos simples:
F_{1}=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\\ -2&1&0\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\right] corresponde a R_2\leftarrow R_2-2R_1. Seu inverso é R_2\leftarrow R_2+2R_1: