[04] Encontre matrizes elementares E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k} tais que A=E_{1} E_{2} \cdots E_{k} para
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},\ldots,E_{k} tais que
A=E_{1}E_{2}\cdots E_{k},
onde
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz 3\times3 fornecida acima.
  • Deve-se escrever A como produto de matrizes elementares (cada matriz elementar corresponde a uma única operação elementar de linha aplicada à identidade).]

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida e prática):
  • Uma matriz elementar é obtida ao aplicar UMA operação elementar de linha na matriz identidade I. As operações elementares de linha são:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E equivale a aplicar a operação de linha correspondente em M.
  • Toda matriz invertível pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Se, por uma sequência de matrizes elementares F_1,F_2,\dots,F_r obtemos F_r\cdots F_2 F_1 A = I,então A = (F_r\cdots F_2 F_1)^{-1} = F_1^{-1} F_2^{-1}\cdots F_r^{-1}. Cada F_i^{-1} também é elementar (inverso de uma operação elementar é outra operação elementar simples).
Plano prático: reduzir A a I por operações de linha (registrando as matrizes elementares F_i que fazem cada operação). Depois escrever A como produto dos inversos dessas F_i em ordem inversa.

Passo 3

Começo da eliminação por linhas (cada passo mostra a operação de linha, a matriz elementar correspondente F_i e a matriz resultante). Vamos anotar as operações que transformam A em I.
Passo inicial: escrever A:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Operação 1: eliminar o elemento na posição (2,1) usando R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
Matriz elementar correspondende (chamo-a de F_{1}):
F_{1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Multiplicando F_{1}A faz a operação em A. Calculando:
F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 5

Operação 2: eliminar o elemento na posição (3,2) usando R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{1}{3}R_{2} (repare que o novo R_2 vale [0,-3,-4], por isso o multiplicador \tfrac{1}{3} elimina o 1 em (3,2)).
Matriz elementar:
F_{2}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right].
Multiplicando no resultado anterior:
F_{2}F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Operação 3: escalonar a linha 2 para ter pivô 1: R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{3}R_{2}.
Matriz elementar (escala linha 2):
F_{3}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aplicando:
F_{3}F_{2}F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].]

Passo 7

Operação 4: escalonar a linha 3 para ter pivô 1: R_{3}\leftarrow \tfrac{3}{2}R_{3}.
Matriz elementar (escala linha 3):
F_{4}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{2} \end{array}\right].
Aplicando:
F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora eliminamos acima dos pivôs para obter I.
Operação 5: eliminar o elemento na posição (2,3) usando R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{4}{3}R_{3}.
Matriz elementar:
F_{5}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aplicando:
F_{5}F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Operação 6: eliminar o elemento na posição (1,3) usando R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{3}.
Matriz elementar:
F_{6}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aplicando:
F_{6}F_{5}F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 10

Operação 7: eliminar o elemento na posição (1,2) usando R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2}.
Matriz elementar:
F_{7}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aplicando:
F_{7}F_{6}F_{5}F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}A=I.
Portanto obtivemos
\left(F_{7}F_{6}F_{5}F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}\right)A=I.
Isto implica
A=\left(F_{7}F_{6}F_{5}F_{4}F_{3}F_{2}F_{1}\right)^{-1}=F_{1}^{-1}F_{2}^{-1}F_{3}^{-1}F_{4}^{-1}F_{5}^{-1}F_{6}^{-1}F_{7}^{-1}.
Cada F_i^{-1} é também uma matriz elementar simples: inverter uma adição muda o sinal do múltiplo; inverter uma escala usa o recíproco.]

Passo 11

Escrever explicitamente os inversos (vou chamar agora as matrizes elementares finais de E_{1},\ldots,E_{7} definidas como E_{i}=F_{i}^{-1}). Calculando inversos simples:
  • F_{1}=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\\ -2&1&0\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\right] corresponde a R_2\leftarrow R_2-2R_1. Seu inverso é R_2\leftarrow R_2+2R_1:
E_{1}=F_{1}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • F_{2}=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&\tfrac{1}{3}&1\end{smallmatrix}\right] (faça R_3\leftarrow R_3+\tfrac{1}{3}R_2). Inverso é R_3\leftarrow R_3-\tfrac{1}{3}R_2:
E_{2}=F_{2}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right].
  • F_{3}=\operatorname{diag}\!\left(1,-\tfrac{1}{3},1\right) (escala R_2 por -\tfrac{1}{3}). Inverso escala R_2 por -3:
E_{3}=F_{3}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • F_{4}=\operatorname{diag}\!\left(1,1,\tfrac{3}{2}\right) (escala R_3 por \tfrac{3}{2}). Inverso escala R_3 por \tfrac{2}{3}:
E_{4}=F_{4}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right].
  • F_{5}=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\\ 0&1&-\tfrac{4}{3}\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\right] (faça R_2\leftarrow R_2-\tfrac{4}{3}R_3). Inverso é R_2\leftarrow R_2+\tfrac{4}{3}R_3:
E_{5}=F_{5}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • F_{6}=\left[\begin{smallmatrix}1&0&-3\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\right] (faça R_1\leftarrow R_1-3R_3). Inverso é R_1\leftarrow R_1+3R_3:
E_{6}=F_{6}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • F_{7}=\left[\begin{smallmatrix}1&-2&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{smallmatrix}\right] (faça R_1\leftarrow R_1-2R_2). Inverso é R_1\leftarrow R_1+2R_2:
E_{7}=F_{7}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 12

Concluir e apresentar o produto final: com as matrizes E_{1},\ldots,E_{7} acima temos
A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}E_{5}E_{6}E_{7},
onde cada E_{i} é a matriz elementar especificada no passo anterior.

Resposta

A= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]