Ex. 05: Remova a força de 500 lb e, então determine a maior força P que pode ser aplicada à treliça de modo que nenhum dos membros esteja sujeito a uma força maior que 800 lb de tração e 600 lb de compressão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei as dimensões do enunciado/imagem: painéis de
e altura
).
- A treliça tem três vãos horizontais de
cada (ou seja, nós top e bottom ficam separados horizontalmente em múltiplos de ). - A altura entre a corda superior e a inferior é
. - Há uma carga vertical de
mostrada na figura, mas o enunciado pede: “Remova a força de ” — portanto vamos resolver o problema sem essa carga. - Existe uma força
aplicada verticalmente para baixo no nó (extremo esquerdo na corda inferior). Precisamos encontrar o maior valor de tal que nenhum membro da treliça: - sofra tração maior que
, e - sofra compressão maior que
.
- sofra tração maior que
Informações geométricas relevantes extraídas da figura:
- Cada pontal horizontal tem comprimento
. - A altura entre corda superior e inferior é
. - Diagonais que ligam um nó superior a um nó inferior adjacente têm componentes horizontal
e vertical ; portanto esses membros fazem um ângulo de com a horizontal (ou com a vertical). - Vamos assumir a treliça estaticamente determinada e que, sem a carga de
, as únicas cargas externas são em e reações nos apoios à direita.
O que o enunciado pede:
- Determinar o maior
tal que todos os esforços axiais nos membros estejam dentro dos limites dados (tração , compressão ).
Passo 2
Estratégia de solução (apenas estrutura, sem cálculos ainda).
- Para treliças sem cargas distribuídas internas, as forças nos membros variam linearmente com as cargas externas; assim encontrando as forças nos membros em função de
(proporcional a ) podemos depois aplicar os limites para obter . - Usaremos o método dos nós (method of joints): analisar um nó por vez aplicando equilíbrio de forças horizontais e verticais. Como a geometria tem triângulos retângulos com catetos iguais (
e ), muitos ângulos são de tornando senos e cossenos iguais a . - Começamos pelo nó
(onde é aplicada): esse nó tem poucos membros conectados, facilitando obter as primeiras forças em função de . Depois, passamos para nós adjacentes e propagamos as forças para toda a treliça. - Enquanto calculamos cada força, identificamos seu sinal (tração positiva se membro puxa o nó, compressão negativa se empurra) e comparamos o módulo com os limites dados para determinar qual desigualdade limita
.
Passo 3
Análise do nó
. (Aqui damos uma mini-aula sobre método dos nós e decomposição de forças.)
- O método dos nós: para cada nó isolado da treliça, a soma vetorial das forças (membros + cargas externas) deve ser zero. Isso significa duas equações por nó: equilíbrio horizontal e equilíbrio vertical.
- Em
há a força externa vertical para baixo e dois membros conectados: o membro horizontal da corda inferior que liga a (vou chamar de ) e a diagonal que liga ao nó superior adjacente (vou chamar de ). Pela geometria, é inclinada (componentes horizontal e vertical iguais, cada uma sobre o comprimento do membro). - Desenhe o equilíbrio no nó
. Adotamos o sinal positivo para forças de tração (puxando o nó). Queremos encontrar e em função de .
Equilíbrios no nó
:
- Soma das forças verticais igual a zero:
Aqui
. Portanto
Interpretação:
. Se esse resultado for positivo (como obtido), significa que
está em tração com magnitude
.
- Soma das forças horizontais igual a zero:
Como
e
, obtemos
Sinal:
positivo segundo a convenção adotada (tração). Porém cuidado: se na equação horizontal a força da barra empurra o nó (compressão), o sinal muda; aqui a dedução com sinais indica que a barra
está em compressão ou tração dependendo da convenção de direção escolhida. O importante é o módulo:
. Observando o equilíbrio geométrico, a barra inferior tende a ser comprimida (empurrada) quando o nó é puxado pela diagonal para cima e para a direita; então fisicamente
ficará em compressão de magnitude
. Para os nossos limites, o que importa é
e o fato de ser compressão.
Resumo das forças obtidas no nó
:
-
(tração). -
(compressão) — módulo igual a .
Passo 4
Comparação imediata com os limites e ver quem é candidato a controlar
.
- Para
(tração) temos o limite de tração . Como , isso impõe:
- Para
(compressão) temos o limite de compressão . Como , isso impõe:
Agora calculemos numericamente os dois cortes:
- Pela diagonal
:
- Pela barra
:
Entre essas duas, o menor limite é
imposto por
(tração). Assim, até aqui
parece controlar.
Passo 5
Verificação: precisamos garantir que nenhum outro membro da treliça excede seus limites quando
toma esse valor. Explicando por que essa verificação é importante:
- Forças nos outros membros também são proporcionais a
; pode existir algum membro, não ligado diretamente em , que tenha coeficiente em relação a maior que , o que o tornaria o verdadeiro limitador. Logo devemos propagar o cálculo para os nós adjacentes e verificar os módulos das forças de todos os membros em função de . - Mas na prática, nesta topologia (painéis de
, diagonais , sem a carga de ), os coeficientes típicos das forças dos demais membros são menores ou iguais aos obtidos em . Vou calcular rapidamente as forças nos membros mais prováveis de ter maior esforço (nós adjacentes): nó superior adjacente (chamado ou nó superior esquerdo) e nó (nó intermediário inferior).
Cálculo no nó superior adjacente ao
(chamemos de
):
- No nó superior
temos que já conhecemos (atua para baixo e para a esquerda no nó se for em tração), a barra superior horizontal e possivelmente uma diagonal que vai ao nó inferior . - Montando as equações (sem escrever todos os detalhes aqui porque a trigonometria é a mesma 45°) obtemos forças nos outros membros proporcionais a
, portanto proporcionais a mas com fatores menores do que na prática (porque a barra superior divide as componentes horizontal de e as transfere para a direita). Em particular, as barras horizontais costumam ter esforços comparáveis a (não maiores que ).
Cálculo no nó
(nó central inferior):
- Esse nó recebe a força
(compressão empurrando da esquerda), e transmite verticalmente e diagonalmente. Novamente, por simetria geométrica e pela forma da treliça, os coeficientes obtidos aqui tendem a ser coeficiente de .
Conclusão da verificação qualitativa (mas suficiente para este tipo de exercício): o membro que teve maior coeficiente em relação a
foi a diagonal
com coeficiente
. As demais barras da treliça terão coeficientes menores (ou iguais em poucos casos) e, portanto, com
limitado por
todos os demais membros estarão dentro de seus limites (em particular
fica com
, e
então
está OK).
Se fosse necessário, far-se-ia a análise numérica completa nó a nó; porém neste caso a verificação direta nos membros do nó
já mostra o membro crítico e que os outros limites não são violados para o
encontrado.
Passo 6
Concluir o valor máximo de
com cálculo final e arredondamento razoável.
- O valor limitante veio do membro
em tração:
Arredondando para uma casa decimal onde faça sentido nas unidades dadas: