EXERCÍCIO 8
A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto B e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto.
A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto B e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem). O enunciado pede as tensões principais no ponto
e que se mostre os resultados num elemento localizado nesse ponto.
Dados extraídos da imagem:
- Força resultante na extremidade:
com triângulo de razão (ou seja, componentes proporcionais a , , hipotenusa ). - Distâncias ao longo da viga: da extremidade livre ao ponto de interesse (seção que contém
) há (a seção que contém está a do apoio, e a viga tem até a força). - Seção transversal (caixa quadrada oca): lado externo
, lado interno (furo) . Logo a espessura das paredes é . - Posição de
: ponto localizado no meio da parede esquerda da seção (centro vertical da parede), isto é, no centro vertical da seção (usar coordenada vertical ) e na parede esquerda (coordenada horizontal medida a partir do centro da seção). Peguei a posição de da figura pequena da seção. - A força de
aplica-se no centro da largura (passa pelo centróide da seção), portanto a componente axial passa pelo centróide (sem excentricidade). - O enunciado pede as tensões principais (valores e orientação) em
.
Resumo das quantidades numéricas que vou usar explicitamente (extraídas/confirmadas na imagem):
-
. - Triângulo
(logo componentes escalares: e ). - Comprimento do braço da força até a seção em que está
: . - Dimensões da seção:
, , parede . - Coordenadas de
usadas: (centro vertical), (meio da parede esquerda).
Passo 2
Resolver a força em componentes ao longo do eixo da viga (eixo
) e perpendicular (vertical
).
Explicando a ideia: o triângulo
significa que, se a força tem magnitude
, sua componente horizontal (paralela ao eixo da viga) é
e a componente vertical é
. Vou tomar sinais: a figura mostra a força apontando para a esquerda e para baixo na extremidade, portanto as componentes são negativas no sentido positivo para a direita e para cima.
Cálculo das componentes:
Interpretação rápida:
(compressão axial, pois aponta para a esquerda) e
(força descendente que gera cisalhamento vertical e momento flettente).
Passo 3
Área da seção e momento de inércia (necessários para tensões axiais e de flexão).
Primeiro a área (área do anel quadrado):
Calculo:
Agora o momento de inércia em torno do eixo neutro horizontal (o mesmo para as duas direções
por simetria do quadrado):
Para um quadrado de lado o momento de inércia em relação ao eixo central horizontal é
. Para a seção oca:
Para um quadrado de lado
Calculo numérico:
Vou usar
.
Obs.: esse
é o que entra nas fórmulas de flexão para curvatura e tensões devido a momento em torno dos eixos transversais.
Passo 4
Tensão normal axial em
(tensão uniforme por força axial).
Fórmula e conceito: tensão axial (assumindo força passando pelo centróide) é
, com sinal de compressão negativo. Aqui
(componente ao longo da viga).
Cálculo:
Interpretação: em
há uma compressão uniforme de aproximadamente
devido ao componente axial
.
Passo 5
Momento flettente na seção por conta da componente vertical
e tensão de flexão em
.
Conceito: a componente vertical
aplicada a uma distância
da seção gera um momento
que produz tensão normal linear
, onde
é a coordenada vertical do ponto considerado (positivo para cima). A fórmula completa para tensão normal longitudinal é a soma das contribuições de flexão e axial.
Momento devido a
:
Para trabalhar em mm e N:
Posição de
(peguei da imagem):
(meio vertical da seção). Logo a tensão de flexão em
é
Conclusão: como
está no eixo neutro vertical (
), a flexão causada pelo
NÃO gera tensão normal em
. (Por isso a tensão normal em
é só a axial calculada no Passo 4.)
Passo 6
Tensão de cisalhamento em
devido à força cortante vertical
.
Motivação e fórmula: a força cortante vertical
produz tensões de cisalhamento longitudinal
(tensão no sentido
em plano normal
). Para se determinar a tensão média ao longo da espessura numa parede, usa-se a fórmula clássica (teoria das vigas):
onde
-
é a força cortante (módulo) na seção ( ), -
é o primeiro momento da área da porção da seção localizada acima (ou abaixo) da linha onde se calcula a tensão, medido em relação ao eixo neutro, -
é o momento de inércia da seção (já calculado), -
é a espessura da parede na posição considerada (aqui para a parede esquerda).
Explicando
: como
está no meio vertical (
), para calcular
no plano médio usamos a porção superior da seção (área acima da linha horizontal que passa por
). Assim:
onde
é a área da metade superior da seção (outer half minus inner half) e
é a distância do centróide dessa metade superior ao eixo neutro.
Calcular
e
:
Área superior externa (meia parte do quadrado externo):
Área superior interna (meia parte do quadrado interno):
Logo área superior do material:
(Observação:
, como esperado.)
Centroides das meias-rectângulos:
- Centróide da meia parte externa está a
acima do eixo neutro. - Centróide da meia parte interna está a
acima do eixo neutro.
Primeiro momento (subtraindo o vazio interno):
Cálculo:
Agora aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento na parede esquerda (espessura
) usando
:
Cálculo numérico:
Portanto
Observação física: esse valor é a tensão de cisalhamento longitudinal média na parede esquerda no ponto médio vertical. Sinal: o sentido do cisalhamento depende da convenção; aqui usaremos a magnitude e indicaremos o sentido ao montar o elemento.
Passo 7
Montagem do elemento plano de tensões em
(componentes que vamos usar para obter tensões principais).
Considerando um elemento com eixos
(longitudinal da viga) e
(vertical), os componentes de tensões no ponto
são:
- Tensão normal longitudinal (ao longo do eixo da viga)
- Tensão normal em
(na direção vertical) é nula (nenhuma força normal vertical aplicada): . - Tensão de cisalhamento no plano
: (magnitude; lembrando a orientação do cisalhamento vem de ).
Resumo dos componentes (valores que vamos usar nas fórmulas de transformação):
Passo 8
Cálculo das tensões principais (fórmula 2D) e orientação.
Fórmulas (conceito): para um estado plano de tensões com
, as tensões principais são:
Aplicando nossos números:
Termo sob a raiz:
Raiz:
Portanto as tensões principais:
Interpretação:
é tração (positivo) e
é compressão (negativo). Note que embora a tensão média seja compressiva, a cisalhamento grande faz com que uma das direções principais fique tracionada.
Orientação (ângulo das direções principais):
A inclinação da direção principal (medida a partir do eixo
) satisfaz
A inclinação
Logo
Isto significa que a direção do primeiro eixo principal (tensão
) está girada em cerca de
em relação ao eixo longitudinal positivo
(sinal negativo indica rotação no sentido horário, conforme convenção tomada). Na prática, para desenhar o elemento em
coloca-se um pequeno quadrado rotacionado desse ângulo e se escreve
e
nas faces correspondentes.
Passo 9
Resumo final dos resultados (numéricos, com unidades e interpretação curta).
- Tensão longitudinal em
devida ao esforço axial: (compressão). - Tensão de flexão em
por : zero (porque está no eixo neutro vertical). - Tensão de cisalhamento longitudinal na parede em
: . - Tensões principais:
(tração),
(compressão). - Orientação das tensões principais:
medido a partir do eixo longitudinal (o primeiro eixo principal associado a está girado esse ângulo).
Resposta
Ângulo das direções principais: