EXERCÍCIO 8
A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto B e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem). O enunciado pede as tensões principais no ponto B e que se mostre os resultados num elemento localizado nesse ponto.
Dados extraídos da imagem:
  • Força resultante na extremidade: \,26\\ \text{kN}\, com triângulo de razão 5\!:\!12\!:\!13 (ou seja, componentes proporcionais a 5, 12, hipotenusa 13).
  • Distâncias ao longo da viga: da extremidade livre ao ponto de interesse (seção que contém B) há 3{,}0\\ \text{m} (a seção que contém B está a 2{,}0\\ \text{m} do apoio, e a viga tem 3{,}0\\ \text{m} até a força).
  • Seção transversal (caixa quadrada oca): lado externo 150\\ \text{mm}, lado interno (furo) 130\\ \text{mm}. Logo a espessura das paredes é (150-130)/2=10\\ \text{mm}.
  • Posição de B: ponto localizado no meio da parede esquerda da seção (centro vertical da parede), isto é, no centro vertical da seção (usar coordenada vertical y=0) e na parede esquerda (coordenada horizontal z=-70\\ \text{mm} medida a partir do centro da seção). Peguei a posição de B da figura pequena da seção.
  • A força de 26\\ \text{kN} aplica-se no centro da largura (passa pelo centróide da seção), portanto a componente axial passa pelo centróide (sem excentricidade).
  • O enunciado pede as tensões principais (valores e orientação) em B.
Resumo das quantidades numéricas que vou usar explicitamente (extraídas/confirmadas na imagem):
  • F=26\\ \text{kN}.
  • Triângulo 5\!:\!12\!:\!13 (logo componentes escalares: 12/13 e 5/13).
  • Comprimento do braço da força até a seção em que está B: L=3{,}0\\ \text{m}.
  • Dimensões da seção: b_{out}=150\\ \text{mm}, b_{in}=130\\ \text{mm}, parede t=10\\ \text{mm}.
  • Coordenadas de B usadas: y_B=0\\ \text{mm} (centro vertical), z_B=-70\\ \text{mm} (meio da parede esquerda).

Passo 2

Resolver a força em componentes ao longo do eixo da viga (eixo x) e perpendicular (vertical y).
Explicando a ideia: o triângulo 5\!:\!12\!:\!13 significa que, se a força tem magnitude F, sua componente horizontal (paralela ao eixo da viga) é F\cdot(12/13) e a componente vertical é F\cdot(5/13). Vou tomar sinais: a figura mostra a força apontando para a esquerda e para baixo na extremidade, portanto as componentes são negativas no sentido positivo para a direita e para cima.
Cálculo das componentes:
F_x = -F\cdot\frac{12}{13} = -26\cdot\frac{12}{13}\\ \text{kN} = -24{,}0\\ \text{kN},
F_y = -F\cdot\frac{5}{13} = -26\cdot\frac{5}{13}\\ \text{kN} = -10{,}0\\ \text{kN}.
Interpretação rápida: F_x=-24\\ \text{kN} (compressão axial, pois aponta para a esquerda) e F_y=-10\\ \text{kN} (força descendente que gera cisalhamento vertical e momento flettente).

Passo 3

Área da seção e momento de inércia (necessários para tensões axiais e de flexão).
Primeiro a área (área do anel quadrado):
A = b_{out}^2 - b_{in}^2 = 150^2 - 130^2\\ \text{mm}^2.
Calculo:
150^2=22500,\quad 130^2=16900,\quad A=22500-16900=5600\\ \text{mm}^2.
Agora o momento de inércia em torno do eixo neutro horizontal (o mesmo para as duas direções I_y=I_z por simetria do quadrado):
Para um quadrado de lado a o momento de inércia em relação ao eixo central horizontal é \dfrac{a^4}{12}. Para a seção oca:
I = \frac{150^4 - 130^4}{12}\\ \text{mm}^4.
Calculo numérico:
150^4 = 506\,250\,000,\quad 130^4=285\,610\,000,
150^4-130^4 = 220\,640\,000,\quad I=\frac{220\,640\,000}{12}=18\,386\,666{,}7\\ \text{mm}^4.
Vou usar I \approx 1{,}8387\times10^{7}\\ \text{mm}^4.
Obs.: esse I é o que entra nas fórmulas de flexão para curvatura e tensões devido a momento em torno dos eixos transversais.

Passo 4

Tensão normal axial em B (tensão uniforme por força axial).
Fórmula e conceito: tensão axial (assumindo força passando pelo centróide) é \sigma_{axial} = N/A, com sinal de compressão negativo. Aqui N = F_x (componente ao longo da viga).
\sigma_{axial} = \frac{F_x}{A} = \frac{-24{,}0\times10^{3}\\ \text{N}}{5600\\ \text{mm}^2}.
Cálculo:
\sigma_{axial} = -\frac{24000}{5600}\\ \text{N/mm}^2 = -4{,}2857\\ \text{N/mm}^2 \approx -4{,}286\\ \text{MPa}.
Interpretação: em B há uma compressão uniforme de aproximadamente -4{,}286\\ \text{MPa} devido ao componente axial F_x.

Passo 5

Momento flettente na seção por conta da componente vertical F_y e tensão de flexão em B.
Conceito: a componente vertical F_y aplicada a uma distância L da seção gera um momento M que produz tensão normal linear \sigma_{bend} = -M\cdot y / I, onde y é a coordenada vertical do ponto considerado (positivo para cima). A fórmula completa para tensão normal longitudinal é a soma das contribuições de flexão e axial.
Momento devido a F_y:
M_z = F_y \cdot L = -10{,}0\\ \text{kN}\times 3{,}0\\ \text{m} = -30{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Para trabalhar em mm e N:
M_z = -30{,}0\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m} = -30{,}0\times10^{3}\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{mm} = -30{,}0\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Posição de B (peguei da imagem): y_B=0\\ \text{mm} (meio vertical da seção). Logo a tensão de flexão em B é
\sigma_{bend} = -\frac{M_z\,y_B}{I} = -\frac{(-30\times10^{6})\cdot 0}{1{,}8387\times10^{7}} = 0.
Conclusão: como B está no eixo neutro vertical ( y=0), a flexão causada pelo F_y NÃO gera tensão normal em B. (Por isso a tensão normal em B é só a axial calculada no Passo 4.)

Passo 6

Tensão de cisalhamento em B devido à força cortante vertical F_y.
Motivação e fórmula: a força cortante vertical V=F_y produz tensões de cisalhamento longitudinal \tau_{xy} (tensão no sentido x em plano normal y). Para se determinar a tensão média ao longo da espessura numa parede, usa-se a fórmula clássica (teoria das vigas):
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t},
onde
  • V é a força cortante (módulo) na seção ( |V|=10{,}0\\ \text{kN}),
  • Q é o primeiro momento da área da porção da seção localizada acima (ou abaixo) da linha onde se calcula a tensão, medido em relação ao eixo neutro,
  • I é o momento de inércia da seção (já calculado),
  • t é a espessura da parede na posição considerada (aqui t=10\\ \text{mm} para a parede esquerda).
Explicando Q: como B está no meio vertical ( y=0), para calcular \tau no plano médio usamos a porção superior da seção (área acima da linha horizontal que passa por B). Assim:
Q = \int_{A_{sup}} y\,dA = A_{sup}\, \bar y_{sup},
onde A_{sup} é a área da metade superior da seção (outer half minus inner half) e \bar y_{sup} é a distância do centróide dessa metade superior ao eixo neutro.
Calcular A_{sup} e \bar y_{sup}:
Área superior externa (meia parte do quadrado externo):
A_{out,sup} = 150\\ \text{mm}\times 75\\ \text{mm} = 11250\\ \text{mm}^2.
Área superior interna (meia parte do quadrado interno):
A_{in,sup} = 130\\ \text{mm}\times 65\\ \text{mm} = 8450\\ \text{mm}^2.
Logo área superior do material:
A_{sup} = A_{out,sup}-A_{in,sup} = 11250-8450 = 2800\\ \text{mm}^2.
(Observação: A_{sup}=A/2, como esperado.)
Centroides das meias-rectângulos:
  • Centróide da meia parte externa está a y_{out} = 75/2 = 37{,}5\\ \text{mm} acima do eixo neutro.
  • Centróide da meia parte interna está a y_{in} = 65/2 = 32{,}5\\ \text{mm} acima do eixo neutro.
Primeiro momento (subtraindo o vazio interno):
Q = A_{out,sup}\,y_{out} - A_{in,sup}\,y_{in} = 11250\cdot37{,}5 - 8450\cdot32{,}5.
Cálculo:
11250\cdot37{,}5 = 421875,\quad 8450\cdot32{,}5 = 274625,
Q = 421875 - 274625 = 147250\\ \text{mm}^3.
Agora aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento na parede esquerda (espessura t=10\\ \text{mm}) usando |V|=10000\\ \text{N}:
\tau_{xy} = \frac{|V|\,Q}{I\,t} = \frac{10000\cdot147250}{1{,}8387\times10^{7}\cdot 10}\\ \text{N/mm}^2.
Cálculo numérico:
\frac{10000\cdot147250}{1{,}8387\times10^{8}} = \frac{1{,}4725\times10^{9}}{1{,}8387\times10^{8}} \approx 8{,}008\\ \text{N/mm}^2.
Portanto
\tau_{xy}\approx 8{,}008\\ \text{MPa}.
Observação física: esse valor é a tensão de cisalhamento longitudinal média na parede esquerda no ponto médio vertical. Sinal: o sentido do cisalhamento depende da convenção; aqui usaremos a magnitude e indicaremos o sentido ao montar o elemento.

Passo 7

Montagem do elemento plano de tensões em B (componentes que vamos usar para obter tensões principais).
Considerando um elemento com eixos x (longitudinal da viga) e y (vertical), os componentes de tensões no ponto B são:
  • Tensão normal longitudinal (ao longo do eixo da viga)
\sigma_x = \sigma_{axial} + \sigma_{bend} = -4{,}286\\ \text{MPa} + 0 = -4{,}286\\ \text{MPa}.
  • Tensão normal em y (na direção vertical) é nula (nenhuma força normal vertical aplicada): \sigma_y = 0\\ \text{MPa}.
  • Tensão de cisalhamento no plano xy: \tau_{xy} = 8{,}008\\ \text{MPa} (magnitude; lembrando a orientação do cisalhamento vem de F_y).
Resumo dos componentes (valores que vamos usar nas fórmulas de transformação):
\boxed{\sigma_x = -4{,}286\\ \text{MPa},\quad \sigma_y=0\\ \text{MPa},\quad \tau_{xy}=8{,}008\\ \text{MPa}.}

Passo 8

Cálculo das tensões principais (fórmula 2D) e orientação.
Fórmulas (conceito): para um estado plano de tensões com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}, as tensões principais são:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }.
Aplicando nossos números:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{-4{,}286 + 0}{2} = -2{,}143\\ \text{MPa}.
Termo sob a raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 = \left(\frac{-4{,}286}{2}\right)^2 + 8{,}008^2 = (-2{,}143)^2 + 64{,}128\approx 4{,}595 + 64{,}128 = 68{,}723\\ (\text{MPa}^2).
Raiz:
\sqrt{68{,}723}\approx 8{,}287\\ \text{MPa}.
Portanto as tensões principais:
\sigma_1 = -2{,}143 + 8{,}287 = 6{,}144\\ \text{MPa},
\sigma_2 = -2{,}143 - 8{,}287 = -10{,}430\\ \text{MPa}.
Interpretação: \sigma_1 é tração (positivo) e \sigma_2 é compressão (negativo). Note que embora a tensão média seja compressiva, a cisalhamento grande faz com que uma das direções principais fique tracionada.
Orientação (ângulo das direções principais):
A inclinação \varphi da direção principal (medida a partir do eixo x) satisfaz
\tan(2\varphi) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} = \frac{2\cdot8{,}008}{-4{,}286-0} = \frac{16{,}016}{-4{,}286}\approx -3{,}737.
Logo
2\varphi = \arctan(-3{,}737)\approx -75{,}1^\circ \quad\Rightarrow\quad \varphi\approx -37{,}6^\circ.
Isto significa que a direção do primeiro eixo principal (tensão \sigma_1) está girada em cerca de -37{,}6^\circ em relação ao eixo longitudinal positivo x (sinal negativo indica rotação no sentido horário, conforme convenção tomada). Na prática, para desenhar o elemento em B coloca-se um pequeno quadrado rotacionado desse ângulo e se escreve \sigma_1=6{,}144\\ \text{MPa} e \sigma_2=-10{,}430\\ \text{MPa} nas faces correspondentes.

Passo 9

Resumo final dos resultados (numéricos, com unidades e interpretação curta).
  • Tensão longitudinal em B devida ao esforço axial: \sigma_x = -4{,}286\\ \text{MPa} (compressão).
  • Tensão de flexão em B por F_y: zero (porque B está no eixo neutro vertical).
  • Tensão de cisalhamento longitudinal na parede em B: \tau_{xy}=8{,}008\\ \text{MPa}.
  • Tensões principais:
    \sigma_1 \approx 6{,}144\\ \text{MPa} (tração),
    \sigma_2 \approx -10{,}430\\ \text{MPa} (compressão).
  • Orientação das tensões principais: \varphi\approx -37{,}6^\circ medido a partir do eixo longitudinal x (o primeiro eixo principal associado a \sigma_1 está girado esse ângulo).

Resposta

\sigma_1 = 6{,}144\\ \text{MPa}
\sigma_2 = -10{,}430\\ \text{MPa}
Ângulo das direções principais: \varphi \approx -37{,}6^\circ

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