[06] Calcular os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função que aparece é
definida para . - O ponto para o qual
tende é . - O que se pede é verificar se há um valor único
tal que quando se aproxima de por quaisquer direções.
Passo 2
Ideia útil: usar coordenadas polares porque muitas expressões com
simplificam. Vamos lembrar as definições polares:
onde
e
é o ângulo (fixo se seguimos uma reta/raio) e a aproximação
corresponde a
(com
variando conforme o caminho).
Passo 3
Substituindo
e
em coordenadas polares na função:
Observação sobre
: como
, tem-se
. Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Interpretação: após a simplificação, o valor da função próximo à origem (para
) não depende de
— depende apenas do ângulo
:
Para que o limite exista em
seria necessário que, ao enviar
, a expressão tendesse a um mesmo número
para todo
. Mas aqui o valor limite (se pensado como limite radial) é exatamente
, que varia com
. Logo é muito provável que o limite não exista.
Passo 5
Para certificar, mostro dois caminhos concretos com resultados diferentes (basta isso para concluir que o limite não existe).
Caminho 1: eixo positivo
- (ou reta
aproximando-se pelo lado em que
). Nesse caso
, logo
Caminho 2: reta
aproximando-se pelo quadrante onde
. Nesta reta
, então
Como
, temos duas formas de aproximar
que dão limites diferentes; portanto não existe um único valor limite.
Passo 6
Complemento didático: a dependência do valor final em
significa que a função tem diferentes “valores de aproximação” ao longo de diferentes direções. Um limite em duas variáveis só existe quando todas as direções dão o mesmo resultado. Aqui isso não ocorre. Observação adicional: a expressão
está entre
e
, portanto a função é limitada perto da origem, mas ser limitada não garante existência do limite; é preciso unicidade do valor.