[06] Calcular os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas:
  • A função que aparece é \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto para o qual (x,y) tende é (0,0).
  • O que se pede é verificar se há um valor único L tal que f(x,y)\to L quando (x,y) se aproxima de (0,0) por quaisquer direções.

Passo 2

Ideia útil: usar coordenadas polares porque muitas expressões com x^{2}+y^{2} simplificam. Vamos lembrar as definições polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta é o ângulo (fixo se seguimos uma reta/raio) e a aproximação (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^{+} (com \theta variando conforme o caminho).

Passo 3

Substituindo x e y em coordenadas polares na função:
\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{r\cos\theta + r\sin\theta}{\sqrt{r^{2}}} = \frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r}
Observação sobre \sqrt{r^{2}}: como r\ge 0, tem-se \sqrt{r^{2}}=r. Portanto a expressão simplifica para
\cos\theta+\sin\theta.

Passo 4

Interpretação: após a simplificação, o valor da função próximo à origem (para r>0) não depende de r — depende apenas do ângulo \theta:
\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\cos\theta+\sin\theta.
Para que o limite exista em (0,0) seria necessário que, ao enviar r\to0^{+}, a expressão tendesse a um mesmo número L para todo \theta. Mas aqui o valor limite (se pensado como limite radial) é exatamente \cos\theta+\sin\theta, que varia com \theta. Logo é muito provável que o limite não exista.

Passo 5

Para certificar, mostro dois caminhos concretos com resultados diferentes (basta isso para concluir que o limite não existe).
Caminho 1: eixo positivo x- (ou reta y=0 aproximando-se pelo lado em que x>0). Nesse caso \theta=0, logo
\cos\theta+\sin\theta=\cos 0+\sin 0=1+0=1.
Caminho 2: reta y=x aproximando-se pelo quadrante onde x>0. Nesta reta \theta=\pi/4, então
\cos\theta+\sin\theta=\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Como 1\neq\sqrt{2}, temos duas formas de aproximar (0,0) que dão limites diferentes; portanto não existe um único valor limite.

Passo 6

Complemento didático: a dependência do valor final em \theta significa que a função tem diferentes “valores de aproximação” ao longo de diferentes direções. Um limite em duas variáveis só existe quando todas as direções dão o mesmo resultado. Aqui isso não ocorre. Observação adicional: a expressão \cos\theta+\sin\theta está entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}, portanto a função é limitada perto da origem, mas ser limitada não garante existência do limite; é preciso unicidade do valor.

Resposta

\text{O limite não existe.}ã