07 - Ar entra em um compressor de duplo estágio, que opera em regime permanente a 520^{\circ} \mathrm{R}\left(15,7^{\circ} \mathrm{C}\right), 14 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}_{2}(655,0 \mathrm{kPa}). A razão de pressão global nos estágios é 12 e cada estágio opera isentropicamente. O inter-resfriamento ocorre a pressão constante, em um valor que minimiza o trabalho de entrada do compressor, conforme determinado no Exemplo 9.10 (Moran et al. 8{ }^{\text {a }} ed), com ar saindo do interresfriador a 520^{\circ} R. Admitindo a condição de gás ideal, com k=1,4, determine o trabalho por unidade de massa de ar em escoamento para o compressor de duplo estágio. Os efeitos das energias cinética e potencial podem ser ignorados.

Passo 1

O enunciado descreve um compressor de ar a dois estágios, operando em regime permanente com:
• Temperatura de entrada T_1 = 520\\ \mathrm{R}
• Pressão de entrada p_1 = 655\\ \mathrm{kPa}
• Razão de pressão global \displaystyle \frac{p_2}{p_1} = 12
• Cada estágio é isentrópico e há inter-resfriamento a pressão constante ao valor que minimiza o trabalho.
Admitimos ar ideal com k=1{,}4 e desprezamos energia cinética e potencial. Queremos o trabalho por unidade de massa.

Passo 2

Para compressor de vários estágios com inter-resfriamento a pressão constante e gás ideal de k constante, o trabalho total é minimizado quando cada estágio tem a mesma razão de pressão. Logo, se o total é
\frac{p_2}{p_1}=12,
cada estágio comprime por
\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/2}=\sqrt{12}\approx3{,}464.
O resfriador opera em pressão
p_{\mathrm{int}}=p_1\sqrt{12}.

Passo 3

A compressão isentrópica de um estágio satisfaz
T_{2}=T_{1}\,\bigl(\tfrac{p_{2}}{p_{1}}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Como k-1\over k=0{,}4/1{,}4\approx0{,}2857 e \sqrt{12}^{\,0{,}2857}\approx1{,}426, temos para cada estágio
T_{2}=T_{1}\times1{,}426.

Passo 4

Convertendo T_1 de Rankine para Kelvin:
T_{1,\mathrm{K}}=520\times\frac{5}{9}\approx288{,}9\\ \mathrm{K}.
Então
T_{2,\mathrm{K}}=288{,}9\times1{,}426\approx412{,}1\\ \mathrm{K},
e o aumento de temperatura em cada estágio é
\Delta T_{\mathrm{est}}=412{,}1-288{,}9=123{,}2\\ \mathrm{K}.
Após o inter-resfriador retornamos a 288{,}9\\ \mathrm{K}, e o segundo estágio repete o mesmo salto térmico. Logo o salto total é
\Delta T_{\mathrm{tot}}=2\times123{,}2=246{,}4\\ \mathrm{K}.

Passo 5

O calor específico a pressão constante do ar é
c_{p}=\frac{k\,R}{k-1},
com R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Assim
c_{p}=\frac{1{,}4\times0{,}287}{0{,}4}\approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 6

O trabalho por unidade de massa é
w=c_{p}\,\Delta T_{\mathrm{tot}} =1{,}005\times246{,}4 \approx247{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

O trabalho de compressão é aproximadamente 247{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.

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