07(FCC-BA). Considere uma esfera metálica oca, inicialmente com carga elétrica nula. Carregando a esfera com um certo número N de elétrons verifica-se que:
a) N elétrons excedentes se distribuem tanto na superfície interna como na externa;
b) N elétrons excedentes se distribuem em sua superfície interna;
c) N elétrons excedentes se distribuem em sua superfície externa;
d) a superfície interna fica carregada com cargas positivas;

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dado: uma esfera metálica oca (isto é, um invólucro metálico esférico, com uma cavidade interna) estava inicialmente neutra (carga elétrica total zero).
  • Ação: são adicionados à esfera um certo número N de elétrons (ou seja, coloca-se carga elétrica negativa excedente no corpo metálico).
  • Pergunta: entre as alternativas abaixo, qual descreve onde ficam esses N elétrons excedentes?
    a) se distribuem tanto na superfície interna como na externa;
    b) se distribuem em sua superfície interna;
    c) se distribuem em sua superfície externa;
    d) a superfície interna fica carregada com cargas positivas.

Passo 2

Propriedades importantes de condutores em equilíbrio eletrostático (explicadas com calma):
  • Num condutor metálico há cargas livres (elétrons) que se movem até alcançar o equilíbrio.
  • Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Ou seja, em qualquer ponto dentro do metal vale \mathbf{E}=\mathbf{0}.
  • Consequência física intuitiva: se houvesse campo dentro do metal, as cargas livres se moveriam; como não há movimento em equilíbrio, o campo tem que ser zero.

Passo 3

Apresentando e explicando a Lei de Gauss, que vamos usar formalmente:
\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada S.
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior dessa superfície S.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
    A ideia prática: se o campo é zero em toda a superfície fechada, o fluxo é zero e, portanto, a carga total dentro dela é zero.

Passo 4

Aplicação da Lei de Gauss ao nosso problema (passo a passo lógico):
  • Escolha uma superfície fechada S que fique inteiramente dentro do material do metal (ou seja, uma superfície imaginária situada no interior da espessura metálica, envolvendo a cavidade mas não saindo para o exterior).
  • Em equilíbrio eletrostático, sabemos que \mathbf{E}=\mathbf{0} em todo o interior do metal. Logo o fluxo pela superfície S é zero: \oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
  • Pela Lei de Gauss isso implica Q_{\text{int}}=0: a carga total dentro de S é nula.
  • O que está “dentro” de S? Estão as eventuais cargas na superfície interna (a face que separa a cavidade do metal) e quaisquer cargas que porventura estivessem dentro da cavidade. No nosso enunciado não foi colocada nenhuma carga solta dentro da cavidade — os elétrons foram adicionados ao próprio metal — portanto não há carga dentro da cavidade.
  • Como Q_{\text{int}}=0 e não há carga na cavidade, segue que a soma das cargas depositadas na superfície interna deve ser zero. Ou seja, não pode haver carga líquida acumulada na superfície interna.

Passo 5

Conclusão física e intuição:
  • Se não há carga líquida na superfície interna, então todo o excesso de carga que foi colocado no metal tem de aparecer na superfície externa do condutor.
  • Intuição complementar e útil para a prova: cargas de mesmo sinal se repelem e, num condutor isolado, elas migram até a superfície mais externa para ficarem o mais afastadas possível, minimizando a energia eletrostática. Por isso o excesso termina na superfície externa.
  • Observação importante para evitar confusão: se em vez de “carregar o metal” alguém colocasse uma carga isolada dentro da cavidade (sem contato com o metal), aí haveria cargas induzidas na superfície interna (de sinal oposto à carga na cavidade) e carga complementar na superfície externa. Esse é um caso diferente; mas no problema dado a carga foi adicionada ao próprio metal, não colocada isoladamente dentro da cavidade.

Passo 6

Resumo do raciocínio (curto e direto para lembrar na prova):
  • Dentro do metal \mathbf{E}=0 em equilíbrio → escolha de Gauss dentro do metal dá carga interna nula → superfície interna não pode ter carga líquida → excesso de carga aparece na superfície externa.

Resposta

c)

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