08 - Um sistema particular obedece a relação
. N moles desta substância, inicialmente a temperatura
e pressão
são expandidos isotropicamente (s=cte) até que a pressão seja a metade da pressão inicial. Qual a temperatura final ?
Passo 1
O enunciado (ajustado para uma forma fisicamente consistente) nos dá a relação do energia interna molar em função da entropia molar e do volume molar:
onde
é uma constante,
é o volume molar,
é a entropia molar e
é a constante dos gases ideais. Além disso temos:
o processo é isotrópico com entropia constante (isto é,
constante), e a expansão ocorre até a pressão final ser metade da inicial:
O que se pede: qual é a temperatura final
em função de
(e dos dados fornecidos).
Passo 2
Relembrando uma identidade termodinâmica fundamental (molar) que vamos usar: a primeira lei para variáveis naturais
e
escreve-se
onde
é energia interna molar,
é temperatura,
entropia molar,
pressão e
volume molar. Dela seguem duas fórmulas úteis:
Vou usar essas definições para obter
e
a partir da forma dada de
.
Passo 3
Calculemos a temperatura molar
a partir de
usando a definição:
Como
, derivando em relação a
(com
fixo) obtemos
Passo 4
Agora calculemos a pressão molar
usando a outra definição:
Derivando
em relação a
(com
fixo):
Portanto
Passo 5
Eliminando o fator exponencial comum
entre as expressões de
e
conseguimos uma relação direta entre
,
e
. Escrevendo
e
lado a lado:
Multiplicando
por
e dividindo por
(ou isolando o fator exponencial) resulta
e comparando com
temos
Portanto a equação de estado do sistema, para uma mole, é
(Para
mols,
, se for necessário.)
Passo 6
Como o processo é isentrópico (
constante), o fator
é constante. Então, da expressão de
em função de
,
segue-se que o produto
é constante durante o processo:
Usando os estados inicial e final:
Como
, temos
Logo
Passo 7
Para relacionar as temperaturas inicial e final usamos a equação de estado obtida no Passo 5:
Assim, para os estados 0 e 1:
Substituindo
e
,
Portanto