08 - Um sistema particular obedece a relação u=A v^{-2} e^{\frac{5}{R}}. N moles desta substância, inicialmente a temperatura T_{0} e pressão P_{0} são expandidos isotropicamente (s=cte) até que a pressão seja a metade da pressão inicial. Qual a temperatura final ?

Passo 1

O enunciado (ajustado para uma forma fisicamente consistente) nos dá a relação do energia interna molar em função da entropia molar e do volume molar:
u = A\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}},
onde A é uma constante, v é o volume molar, s é a entropia molar e R é a constante dos gases ideais. Além disso temos:
\text{Número de mols: }N,ú
\text{Estado inicial: }T_0,\;P_0,
o processo é isotrópico com entropia constante (isto é, \,s= constante), e a expansão ocorre até a pressão final ser metade da inicial:
P_1=\tfrac{1}{2}P_0.
O que se pede: qual é a temperatura final T_1 em função de T_0 (e dos dados fornecidos).

Passo 2

Relembrando uma identidade termodinâmica fundamental (molar) que vamos usar: a primeira lei para variáveis naturais s e v escreve-se
du = T\,ds - p\,dv,
onde u é energia interna molar, T é temperatura, s entropia molar, p pressão e v volume molar. Dela seguem duas fórmulas úteis:
T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}, \qquad p=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.
Vou usar essas definições para obter T e p a partir da forma dada de u(s,v).

Passo 3

Calculemos a temperatura molar T a partir de u usando a definição:
T=\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)_{v}.
Como u = A v^{-2} e^{\frac{5s}{R}}, derivando em relação a s (com v fixo) obtemos
T = A v^{-2} e^{\frac{5s}{R}} \cdot \frac{5}{R} = \frac{5A}{R}\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}}.

Passo 4

Agora calculemos a pressão molar p usando a outra definição:
p=-\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{s}.
Derivando u em relação a v (com s fixo):
\frac{\partial u}{\partial v} = A \cdot \frac{d}{dv}(v^{-2}) \, e^{\frac{5s}{R}} = A(-2)v^{-3} e^{\frac{5s}{R}}.
Portanto
p = -\left(A(-2)v^{-3} e^{\frac{5s}{R}}\right) = 2A\, v^{-3} e^{\frac{5s}{R}}.

Passo 5

Eliminando o fator exponencial comum e^{\frac{5s}{R}} entre as expressões de T e p conseguimos uma relação direta entre p, v e T. Escrevendo p e T lado a lado:
T = \frac{5A}{R}\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}}, \qquad p = 2A\, v^{-3} e^{\frac{5s}{R}}.
Multiplicando p por v e dividindo por T (ou isolando o fator exponencial) resulta
p\,v = 2A\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}},
e comparando com T temos
\frac{p\,v}{T} = \frac{2A\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}}}{\frac{5A}{R}\, v^{-2} e^{\frac{5s}{R}}} = \frac{2}{5/R} = \frac{2R}{5}.
Portanto a equação de estado do sistema, para uma mole, é
p\,v = \frac{2R}{5}\,T.
(Para N mols, pV = N\frac{2R}{5}T, se for necessário.)

Passo 6

Como o processo é isentrópico ( s= constante), o fator e^{\frac{5s}{R}} é constante. Então, da expressão de p em função de v,
p = 2A\, v^{-3} e^{\frac{5s}{R}},
segue-se que o produto p\,v^{3} é constante durante o processo:
p\,v^{3} = 2A\, e^{\frac{5s}{R}} = \text{constante}.
Usando os estados inicial e final:
p_0 v_0^{3} = p_1 v_1^{3}.
Como p_1 = \tfrac{1}{2}p_0, temos
p_0 v_0^{3} = \tfrac{1}{2}p_0\, v_1^{3}\quad\Rightarrow\quad v_1^{3} = 2\, v_0^{3}.
Logo
\frac{v_1}{v_0} = 2^{1/3}.

Passo 7

Para relacionar as temperaturas inicial e final usamos a equação de estado obtida no Passo 5:
p\,v = \frac{2R}{5}\,T.
Assim, para os estados 0 e 1:
\frac{T_1}{T_0} = \frac{p_1 v_1}{p_0 v_0}.
Substituindo p_1/p_0 = \tfrac{1}{2} e v_1/v_0 = 2^{1/3},
\frac{T_1}{T_0} = \left(\tfrac{1}{2}\right)\,2^{1/3} = 2^{1/3-1} = 2^{-2/3}.
Portanto
T_1 = T_0\,2^{-2/3} = \frac{T_0}{2^{2/3}}.

Resposta

T_1 = \frac{T_0}{2^{2/3}}

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