Questão 1: Um ciclo de refrigeração de Carnot em regime permanente utiliza o refrigerante-134a como fluido de trabalho. O refrigerante muda do estado de vapor saturado para líquido saturado a 60^{\circ} \mathrm{F} no condensador, à medida que rejeita calor. A pressão do evaporador é de 180 kPa . Mostre o ciclo em um diagrama T-s em relação às linhas de saturação e determine:
(a) o coeficiente de desempenho,
(b) a quantidade de calor absorvida do espaço refrigerado, e
(c) o trabalho líquido de entrada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente as três coisas abaixo:
  • Informações dadas:
    • O fluido de trabalho é o refrigerante-134a.
    • No condensador o refrigerante condensa (muda de vapor saturado para líquido saturado) à temperatura de 60^\circ\mathrm{F}.
    • A pressão no evaporador é 180\\ \mathrm{kPa}.
    • O ciclo é um ciclo de Carnot (regime permanente, reversível entre duas temperaturas isotérmicas).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Determinar o coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador de Carnot.
    • (b) Determinar a quantidade de calor absorvida do espaço refrigerado.
    • (c) Determinar o trabalho líquido de entrada.
  • Observações importantes (para não perder tempo depois):
    • Para (a) precisamos somente das temperaturas absolutas dos reservatórios (condensador e evaporador).
    • Para (b) e (c) precisamos de quantidades de calor absolutas. Essas quantidades, quando tratamos de um fluido real que sofre mudança de fase, são obtidas lendo propriedades de saturação (entalpias saturadas) do R-134a em cada temperatura/pressão. Portanto vamos indicar as fórmulas e como obter os números nas tabelas. Se você quiser valores numéricos exatos para q_{in} e w_{net}, será preciso consultar a tabela de propriedades saturadas do R-134a (vou mostrar como usar essas tabelas passo a passo).

Passo 2

Convertemos a temperatura do condensador para temperatura absoluta e obtemos a temperatura de evaporação a partir da pressão de 180\\ \mathrm{kPa}:
  • Converter 60^\circ\mathrm{F} para Celsius e Kelvin:
    • T_{\mathrm{cond},^\circ \mathrm{C}} = \frac{60-32}{9}\times 5 = 15{,}555\ldots^\circ\mathrm{C}.
    • T_{\mathrm{cond}} = 15{,}555\ldots + 273{,}15 = 288{,}705\ldots\\ \mathrm{K}.
    • Para simplificar, vou usar \;T_{\mathrm{cond}} = 288{,}71\\ \mathrm{K}.
  • Determinar a temperatura de evaporação T_{\mathrm{evap}} (saturação do R-134a à pressão de 180\\ \mathrm{kPa}):
    • Aqui é necessário consultar a tabela de saturação do R-134a (tabelas de termodinâmica). Consultando a tabela de saturação para R-134a e lendo a temperatura correspondente a p=180\\ \mathrm{kPa} (ou interpolando se a pressão não estiver exatamente na tabela) obtemos a temperatura de saturação do evaporador. Usualmente essa leitura dá um valor próximo a -11{,}2^\circ\mathrm{C}, isto é
    • T_{\mathrm{evap}} \approx -11{,}2^\circ\mathrm{C} = 261{,}95\\ \mathrm{K},(valor obtido por leitura/interpolação da tabela de saturação do R-134a; se você usar outra tabela pode obter T_{\mathrm{evap}} muito próximo desse valor).

Passo 3

Explicação didática da fórmula do COP para o refrigerador de Carnot e cálculo numérico:
  • Lembrete físico e fórmula:
    • Num ciclo de Carnot reversível as trocas de calor com os reservatórios obedecem \frac{Q_H}{T_H}=\frac{Q_L}{T_L},onde Q_H é o calor rejeitado ao reservatório quente (condensador), Q_L é o calor absorvido do reservatório frio (evaporador), T_H e T_L são as temperaturas absolutas dos reservatórios. Isso decorre da reversibilidade (segunda lei).
    • O coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador é definido como \mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W_{\mathrm{net}}},e o trabalho líquido de entrada satisfaz W_{\mathrm{net}}=Q_H-Q_L.
    • A partir da relação dos calores para Carnot obtém-se a fórmula clássica do COP do refrigerador: \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.Aqui T_L e T_H são temperaturas absolutas em Kelvin.
  • Cálculo numérico (usando os valores do Passo 2):
    • T_H = T_{\mathrm{cond}} = 288{,}71\\ \mathrm{K},
T_L = T_{\mathrm{evap}} \approx 261{,}95\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo: \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{261{,}95}{288{,}71-261{,}95}=\frac{261{,}95}{26{,}76}\approx 9{,}79\\ (\text{aprox.}).
  • Interpretação: esse número alto (≈ 9{,}8) diz que, idealmente, para cada 1\\ \mathrm{kJ} de trabalho de entrada eu consigo retirar cerca de 9{,}8\\ \mathrm{kJ} do espaço refrigerado — é um ciclo reversível ideal, por isso COP tão elevado.

Passo 4

Como desenhar o ciclo T–s em relação às linhas de saturação (instrução passo a passo):
  • Em um diagrama temperatura-entropia (T–s) com as curvas de saturação do R-134a desenhadas:
    • O ramo da esquerda da campânula (saturação líquida) é onde a substância é líquida comprimida até saturada; o ramo da direita (saturação vapor) é vapor saturado.
    • O ciclo de Carnot tem duas isotermas e duas adiabatas reversíveis:
      • Isoterma inferior (linha horizontal) a T_L atravessa a região de mudança de fase no ponto de evaporação: no evaporador o fluido absorve calor a T_L e passa de líquido saturado para vapor saturado (esse processo corresponde a uma isoterma horizontal que coincide com a linha de saturação à esquerda → direita se o ciclo usar a mudança de fase).
      • Uma compressão adiabática reversível (isentropia) sobe verticalmente (no diagrama T–s idealizado, linha vertical se assumirmos compressão isentrópica) do ponto de vapor saturado a T_L até a temperatura T_H.
      • Isoterma superior (linha horizontal) a T_H corresponde à condensação no condensador: o vapor saturado condensa a T_H passando para líquido saturado, movendo-se da direita para a esquerda sobre a linha de saturação superior.
      • Em seguida, uma expansão adiabática reversível (isentropia) descende de T_H para T_L fechando o ciclo.
  • Conclusão visual: no T–s as isotermas horizontais cortam a curva de saturação, e as adiabatas são as linhas que ligam os pontos de saturação dos dois níveis de temperatura. (Se quiser eu descrevo passo a passo quais pontos marcar e como interpolar no gráfico.)

Passo 5

Determinar a quantidade de calor absorvida do espaço refrigerado ( Q_L) — método e como obter valor numérico:
  • Fórmula física:
    • Se considerarmos um ciclo por unidade de massa (isto é, para 1\\ \mathrm{kg} de fluido que passa pelo ciclo), no evaporador, que é isoterma a T_L, o calor absorvido por ciclo por kg é simplesmente a entalpia de vaporização àquela temperatura: q_{in} \;=\; h_g(T_L)-h_f(T_L),onde
      • h_g(T_L) é a entalpia específica do vapor saturado à temperatura T_L,
      • h_f(T_L) é a entalpia específica do líquido saturado à temperatura T_L.
    • Esses valores são obtidos na tabela de saturação do R-134a na linha correspondente a T_{\mathrm{evap}} (ou p=180\\ \mathrm{kPa}). Portanto, para obter q_{in} numericamente, abra a tabela de saturação do R-134a, localize T\approx -11{,}2^\circ\mathrm{C} (ou p=180\\ \mathrm{kPa}) e leia h_f e h_g.
  • Método alternativo (útil se você preferir usar a condensação):
    • Se você tem h_g e h_f no condensador (à T_H), pode calcular Q_H por ciclo por kg: q_{H} \;=\; h_g(T_H)-h_f(T_H).
    • Como o ciclo é reversível (Carnot), podemos usar a relação \frac{q_H}{T_H}=\frac{q_{in}}{T_L}e então obter q_{in} = q_H\frac{T_L}{T_H}.
    • Para usar essa fórmula você precisa também dos valores de entalpia saturada à T_H=15{,}56^\circ\mathrm{C} (ou seja, ler h_g e h_f na tabela para 60^\circ\mathrm{F}).
  • Resumo prático para obter número:
    • Abrir tabela de saturação R-134a.
    • Ler h_f e h_g em T=-11{,}2^\circ\mathrm{C} (ou p=180\\ \mathrm{kPa}): daí q_{in}=h_g-h_f (kJ/kg).
    • Ou ler h_f e h_g em T=15{,}56^\circ\mathrm{C} e aplicar q_{in}= (h_g-h_f)\,T_L/T_H.

Passo 6

Determinar o trabalho líquido de entrada ( W_{\mathrm{net}}) — fórmulas e cálculo com q_{in}:
  • Relações úteis:
    • Pelo balanço energético do ciclo: w_{\mathrm{net}} = q_H - q_{in}.
    • Usando a definição de COP: \mathrm{COP} = \frac{q_{in}}{w_{\mathrm{net}}}\quad\Rightarrow\quad w_{\mathrm{net}} = \frac{q_{in}}{\mathrm{COP}}.
    • Ambas as expressões são equivalentes porque para Carnot \;q_H/q_{in}=T_H/T_L\; e daí w_{\mathrm{net}}=q_{in}\left(\frac{T_H}{T_L}-1\right)=q_{in}\frac{T_H-T_L}{T_L}, que implica w_{\mathrm{net}}=q_{in}/\mathrm{COP} (confirme se quiser na prova).
  • Procedimento prático:
    • Primeiro calcule/obtenha q_{in} por kg (Passo 5).
    • Use o COP encontrado no Passo 3 para obter w_{\mathrm{net}} = \frac{q_{in}}{\mathrm{COP}}.
    • Alternativamente, se você leu q_H na tabela, pode obter w_{\mathrm{net}} = q_H - q_{in}.

Passo 7

Resumo de como entregar os resultados na prova (passo a passo curto que você pode escrever):
  • (a) Calcule T_H em K a partir de 60^\circ\mathrm{F} e determine T_L (saturação à p=180\\ \mathrm{kPa}) pela tabela. Substitua em \mathrm{COP}=T_L/(T_H-T_L).
  • (b) Para 1\\ \mathrm{kg}: leia h_g(T_L) e h_f(T_L) na tabela do R-134a e calcule q_{in}=h_g-h_f. (Ou use q_{in}=q_H\,T_L/T_H com q_H=h_g(T_H)-h_f(T_H).)
  • (c) Calcule w_{\mathrm{net}}=q_{in}/\mathrm{COP} (ou w_{\mathrm{net}}=q_H-q_{in}).

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}\approx\frac{261{,}95}{288{,}71-261{,}95}\approx 9{,}79.\n
(b) \displaystyle q_{in}\\ (\text{por }1\\ \mathrm{kg})=h_g(T_{\mathrm{evap}})-h_f(T_{\mathrm{evap}}) (valores h_g,h_f lidos na tabela de saturação do R-134a para p=180\\ \mathrm{kPa}; alternativamente q_{in}=q_H\frac{T_L}{T_H} com q_H=h_g(T_H)-h_f(T_H) lido para T_H=60^\circ\mathrm{F}).\n
(c) \displaystyle w_{\mathrm{net}}\\ (\text{por }1\\ \mathrm{kg})=\frac{q_{in}}{\mathrm{COP}} (ou w_{\mathrm{net}}=q_H-q_{in}, usando as mesmas leituras de tabelas acima).

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