09. (PUC-MG) A tabela representa o gasto semanal com alimentação de um grupo de 10 famílias:

Número de famílias 5 3 2
Gasto por família (em reais) 126,00 m 342,00
Se o gasto semanal médio por família é de \mathrm{R} \ 183,00 , pode-se estimar que o valor dem$ é:
a) \mathrm{R} \ 172,00$
b) R \ 184,00$
c) \mathrm{R} \ 202,00$
d) \mathrm{R} \ 234,00$

Passo 1

O enunciado nos dá uma tabela com o número de famílias e o gasto semanal de cada família, e informa a média aritmética (gasto médio) do grupo. Dados fornecidos:
  • Número de famílias com gasto 126{,}00: 5.
  • Número de famílias com gasto m: 3.
  • Número de famílias com gasto 342{,}00: 2.
  • Média aritmética por família: 183{,}00.
O que o problema pede: determinar o valor de m.

Passo 2

Entendendo o que é a média ponderada (a que usamos aqui): quando temos vários valores x_i com frequências f_i (número de vezes que cada valor aparece), a média aritmética do conjunto é
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.
Explicando as variáveis:
  • \bar{x} é a média (aqui conhecida: 183{,}00);
  • f_i são as frequências (aqui 5,3,2);
  • x_i são os gastos correspondentes (aqui 126{,}00,\,m,\,342{,}00);
  • \sum f_i é o total de famílias.

Passo 3

Calcular primeiro o total de famílias:
\sum f_i = 5+3+2 = 10.

Passo 4

Aplicar a fórmula da média ponderada com os dados:
183{,}00 = \frac{5\cdot126{,}00 + 3\cdot m + 2\cdot342{,}00}{10}.
Multiplicando ambos os lados por 10 para eliminar o denominador:
10\cdot183{,}00 = 5\cdot126{,}00 + 3\cdot m + 2\cdot342{,}00.

Passo 5

Calcular os produtos conhecidos:
10\cdot183{,}00 = 1830{,}00, \qquad 5\cdot126{,}00 = 630{,}00, \qquad 2\cdot342{,}00 = 684{,}00.
Substituindo na equação:
1830{,}00 = 630{,}00 + 3\cdot m + 684{,}00.
Somando 630{,}00 e 684{,}00:
1830{,}00 = 3\cdot m + 1314{,}00.

Passo 6

Isolando o termo com m:
3\cdot m = 1830{,}00 - 1314{,}00 = 516{,}00.
Dividindo ambos os lados por 3 obtemos o valor de m.

Resposta

a) \text{R\$ }172{,}00