[1] Admita que, no instante em que a fonte de corrente cc de 60 mA é aplicada ao circuito da Figura 29, a corrente inicial no indutor de 50 mH seja -45 mA e a tensão inicial no capacitor seja 15 V (positiva no terminal superior). Determine a expressão para i_{L}(t) para t \geq 0, se R for igual a 250 \Omega.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão para \,i_{L}(t)\, para t\ge 0, sabendo que, no instante da aplicação da fonte de corrente contínua de 60\\ \text{mA}, a corrente inicial no indutor é -45\\ \text{mA} e a tensão inicial no capacitor é 15\\ \text{V} (terminal superior positivo). Foi informado também que R=250\\ \Omega e que o indutor vale L=50\\ \text{mH} (esse valor foi citado no enunciado que você enviou).\n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado (numericamente, convertendo para unidades do SI):\n\n\,I_s = 60\\ \text{mA} = 0{,}06\\ \text{A}\,\n\n\,i_L(0) = -45\\ \text{mA} = -0{,}045\\ \text{A}\,\n\n\,v_C(0) = 15\\ \text{V}\,\n\n\,R = 250\\ \Omega,\quad L = 50\\ \text{mH} = 0{,}05\\ \text{H}.\,\n\nObservação importante: o enunciado menciona a “Figura 29” que descreve o circuito — essa figura não foi enviada. Sem a figura não tenho certeza da topologia real do circuito (por exemplo: se R, L e C estão em paralelo alimentados por uma fonte de corrente, ou se estão em série, ou outra configuração). Além disso, o valor da capacitância C não foi fornecido no texto que você me enviou. Essas duas informações (topologia e valor de C) são necessárias para obter uma expressão numérica final e específica para i_L(t).\n\nPor isso: não é possível obter um resultado numérico final fechado sem a figura (topologia) e sem o valor de C. A seguir eu vou assumir a topologia que é mais comumente usada em problemas desse tipo (fonte de corrente aplicando um ramo paralelo contendo R, L e C) — explicarei por que escolhi essa hipótese — e derivarei a solução geral passo a passo em função de C. Assim, se a sua figura for mesmo a de um circuito paralelo e você souber C, você poderá substituir e obter o resultado numérico; se a figura for outra, o método precisa ser ajustado conforme a topologia real.
Passo 2
Justificativa da hipótese de topologia e modelo escolhido.\n\nÉ comum exercícios desse tipo apresentarem uma fonte de corrente contínua que alimenta em paralelo um resistor R, um indutor L e um capacitor C. Nessa configuração as variáveis naturais do problema são a corrente do indutor i_L(t) e a tensão comum aos elementos v(t) (a tensão nos terminais do conjunto paralelo). Além disso, as condições iniciais fornecidas (i_L(0) e v_C(0)) são exatamente as condições necessárias para o problema paralelo. Por isso vou assumir que a fonte de corrente I_s está ligada ao nó superior que alimenta em paralelo R, L e C. Se a figura for diferente, avise-me e eu refaço com a topologia correta.\n\nSob essa hipótese, escrevemos KCL no nó superior:\nI_s = i_R(t) + i_C(t) + i_L(t).
Passo 3
Escrevendo as equações constitutivas e obtendo a equação diferencial para i_L(t).\n\nPara cada elemento, a relação tensão-corrente é:\n\nResistor: \,i_R(t)=\dfrac{v(t)}{R}.\,\n\nCapacitor: \,i_C(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}.\,\n\nIndutor: \,v(t)=L\,\dfrac{di_L(t)}{dt}.\,\n\nSubstituindo v(t)=L\,\dfrac{di_L}{dt} nas expressões de i_R e i_C e na KCL:\nI_s = \frac{L}{R}\,\frac{di_L}{dt} + C\,L\,\frac{d^2 i_L}{dt^2} + i_L.\n\nColocando em forma padrão (dividindo por L\,C):\n\frac{d^2 i_L}{dt^2} + \frac{1}{R C}\,\frac{d i_L}{dt} + \frac{1}{L C}\,i_L = \frac{I_s}{L C}.
Passo 4
Identificação dos parâmetros naturais e do regime de resposta.\n\nDefinimos as quantidades clássicas para um sistema de 2ª ordem:\n\omega_0^2=\frac{1}{L C},\qquad 2\alpha=\frac{1}{R C}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{1}{2R C}.\n\nAssim a equação fica\n\frac{d^2 i_L}{dt^2} + 2\alpha\,\frac{d i_L}{dt} + \omega_0^2\, i_L = \frac{I_s}{L C}.\n\nO comportamento da solução homogênea depende do discriminante \alpha^2-\omega_0^2:\n\n- se \alpha^2>\omega_0^2: resposta superamortecida (real distinta);\n- se \alpha^2=\omega_0^2: criticamente amortecida;\n- se \alpha^2<\omega_0^2: subamortecida (oscilatória com amortecimento).\n\nSem o valor de C não é possível saber a que caso o sistema pertence. Vou apresentar a solução para o caso mais comum em RLC (o caso subamortecido) e também indicar como proceder nos outros casos.
Passo 5
Solução particular (valor final em regime permanente) e interpretação física.\n\nPara uma fonte de corrente DC aplicada ao circuito paralelo, no regime permanente o capacitor se comporta como circuito aberto e o indutor como curto. Assim toda a corrente DC, após transientes, passa pelo indutor (curto), e o resistor não tem tensão (portanto corrente pelo resistor é zero). Logo o valor final da corrente no indutor é igual à corrente da fonte:\ni_L(\infty)=I_s.\n\nPortanto a solução geral terá a forma:\ni_L(t)=I_s + i_{h}(t),\nonde i_{h}(t) é a solução da equação homogênea associada.
Passo 6
Cálculo das constantes iniciais necessárias (valores numéricos que conhecemos).\n\nPrimeiro calculemos a derivada inicial de i_L a partir da tensão inicial do capacitor/elemento paralelo. Como v(0)=v_C(0)=15\\ \text{V} e v(t)=L\,di_L/dt, temos:\n\left.\frac{di_L}{dt}\right|_{t=0}=\frac{v(0)}{L}=\frac{15}{0{,}05}=300\\ \text{A/s}.\n\nTambém convertemos as correntes para ampères (já feito no Passo 1):\nI_s=0{,}06\\ \text{A},\qquad i_L(0)=-0{,}045\\ \text{A}.\n\nDefinimos a diferença inicial entre o valor inicial e o valor final (isso aparecerá na constante da solução homogênea):\nK_1 = i_L(0)-I_s = -0{,}045 - 0{,}06 = -0{,}105\\ \text{A}.
Passo 7
Solução no caso subamortecido (\alpha^2<\omega_0^2).\n\nDefina a frequência amortecida:\n\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{\frac{1}{L C}-\left(\frac{1}{2 R C}\right)^2}.\n\nA solução homogênea tem a forma oscilatória amortecida:\ni_h(t)=e^{-\alpha t}\!\big[ K_1\cos(\omega_d t) + K_2\sin(\omega_d t)\big].\n\nPara encontrar K_2 diferenciamos i_L(t)=I_s+i_h(t) e aplicamos t=0. A derivada inicial já encontrada é \left.\dfrac{di_L}{dt}\right|_{0}=300\\ \text{A/s}. Calculamos:\n\left.\frac{di_L}{dt}\right|_{0}=0 + \left.\frac{d i_h}{dt}\right|_{0} = \left.\left(-\alpha e^{-\alpha t}[K_1\cos(\omega_d t)+K_2\sin(\omega_d t)] + e^{-\alpha t}[-K_1\omega_d\sin(\omega_d t)+K_2\omega_d\cos(\omega_d t)]\right)\right|_{0}.\n\nEm t=0 isso fica:\n300 = -\alpha K_1 + \omega_d K_2.\n\nLogo\nK_2 = \frac{300 + \alpha K_1}{\omega_d}.\n\nSubstituindo K_1=-0{,}105\\ \text{A}:\nK_2 = \frac{300 + \alpha(-0{,}105)}{\omega_d} = \frac{300 - 0{,}105\,\alpha}{\omega_d}.\n\nLembre-se que \alpha e \omega_d dependem de C por meio de \alpha=\dfrac{1}{2RC} e \omega_d=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\alpha^2}.
Passo 8
Expressão final (caso subamortecido), bem explicada e pronta para uso ao se conhecer C.\n\nReunindo tudo, para o caso subamortecido (\alpha^2<\omega_0^2) obtemos:\ni_L(t)=I_s + e^{-\alpha t}\!\bigg[ K_1\cos(\omega_d t) + \frac{300 + \alpha K_1}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\bigg],\nonde\nI_s=0{,}06\\ \text{A},\quad K_1=-0{,}105\\ \text{A},\n\alpha=\frac{1}{2 R C}=\frac{1}{2\cdot 250\cdot C}=\frac{1}{500\,C},\n\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}05\,C}},\qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.\n\nPortanto, se você me der o valor de C ou confirmar que a topologia é essa (paralelo alimentado por fonte de corrente), eu posso substituir \,C na expressão acima, calcular \alpha e \omega_d numericamente e fornecer i_L(t) com todos os números prontos (em A ou em mA, como preferir). Se o circuito da figura for outro (por exemplo série), o procedimento muda e eu refaço a dedução de acordo com a topologia.\n\nObservação sobre os outros regimes:\n\n- Se \alpha^2=\omega_0^2 (crítico), a solução homogênea seria\ni_h(t)=e^{-\alpha t}(K_1 + K_2 t),
com K_1 e K_2 obtidos das condições iniciais.\n\n- Se \alpha^2>\omega_0^2 (superamortecido), as raízes são reais e distintos r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} e
i_h(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t},
onde A e B são obtidos impondo i_L(0) e \left.\dfrac{di_L}{dt}\right|_0.
(Expressão válida no caso subamortecido \alpha^2<\omega_0^2. Para obter valores numéricos substitua o valor de C. Se a topologia da Figura 29 for diferente da hipótese de paralelo, informe a figura correta.)