Um loop retangular de 8 \mathrm{~cm} \times 12 \mathrm{~cm} feito de fio está situado no plano x-y com seu centro na origem e o lado maior em paralelo com o eixo x. O loop tem uma corrente de 25 A no sentido horário (visto de cima). Determine o campo magnético no centro do loop.

Passo 1

O enunciado dá um loop retangular de 8\\ \mathrm{cm}\times 12\\ \mathrm{cm} no plano xy, com centro na origem. O lado maior ( 12\\ \mathrm{cm}) está paralelo ao eixo x. A corrente é 25\\ \mathrm{A} no sentido horário quando visto de cima. Pede-se o campo magnético no centro do loop (ponto (0,0,0)).\n
Informações relevantes:
\text{dimensões: } 8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m},\quad 12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m}õ
I=25\\ \mathrm{A}
\text{loop no plano }xy\\ (\text{logo o campo no centro será ao longo de } \hat{z}\text{ por simetria})á

Passo 2

Estratégia e princípio físico (explicação didática): cada lado retilíneo do loop produz um campo magnético no centro dado pela lei de Biot–Savart aplicada a um fio retilíneo finito. Para um segmento retilíneo de corrente I, num ponto a distância perpendicular d do fio, com os extremos do fio subtendendo ângulos \theta_1 e \theta_2 medidos a partir da perpendicular (veja a figura mental), a magnitude do campo é
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\,(\sin\theta_1+\sin\theta_2).
Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}). Explicando as variáveis:
  • I é a corrente no fio (em ampères).
  • d é a distância perpendicular do ponto ao fio (em metros).
  • \theta_1,\theta_2 são os ângulos entre a linha perpendicular ao fio no ponto e as linhas que ligam o ponto aos extremos do fio; \sin\theta pode ser expressa em termos da meia-comprimento do fio e de d.
Quando o ponto está no bissetor perpendicular do fio (isto é, o fio está “centred” em relação ao ponto), temos \theta_1=\theta_2=\theta, e a fórmula simplifica para
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\sin\theta.
Além disso, geometricamente,
\sin\theta=\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+d^2}},
onde L é o comprimento total do segmento.

Passo 3

Aplicando simetria ao retângulo: o campo no centro terá só componente na direção z (componentes x,y cancelam entre lados opostos). Temos dois lados longos de comprimento L_x=0{,}12\\ \mathrm{m} localizados a distância d_x do centro, e dois lados curtos de comprimento L_y=0{,}08\\ \mathrm{m} localizados a outra distância d_y. Especificamente:
d_x=\frac{8\\ \mathrm{cm}}{2}=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, \qquad d_y=\frac{12\\ \mathrm{cm}}{2}=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
Meias-comprimentos:
\frac{L_x}{2}=0{,}06\\ \mathrm{m},\qquad \frac{L_y}{2}=0{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Campo produzido por um dos lados longos (comprimento L_x), no centro: usamos a fórmula para ponto no bissetor perpendicular:
\sin\theta_x=\frac{L_x/2}{\sqrt{(L_x/2)^2+d_x^2}}=\frac{0{,}06}{\sqrt{0{,}06^2+0{,}04^2}}.
Calcule o denominador:
0{,}06^2+0{,}04^2=0{,}0036+0{,}0016=0{,}0052, \quad \sqrt{0{,}0052}\approx 0{,}072111.
Logo
\sin\theta_x=\frac{0{,}06}{0{,}072111}\approx 0{,}83205.
Agora a magnitude do campo de UM lado longo no centro é
B_{\text{longo,1}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d_x}\sin\theta_x.
Substituindo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} (logo \mu_0/(2\pi)=2\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}), I=25\\ \mathrm{A} e d_x=0{,}04\\ \mathrm{m}:
B_{\text{longo,1}}=\frac{2\times 10^{-7}\times 25}{0{,}04}\times 0{,}83205 =5{,}0\times 10^{-6}\times 25\times 0{,}83205 =5{,}0\times 10^{-6}\times 20{,}80125 \approx 1{,}0401\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Como há dois lados longos e ambos produzem campo com o mesmo sentido em z, a contribuição total dos dois é
B_{\text{longos}}=2B_{\text{longo,1}}\approx 2{,}08025\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Campo produzido por um dos lados curtos (comprimento L_y), no centro: similarmente,
\sin\theta_y=\frac{L_y/2}{\sqrt{(L_y/2)^2+d_y^2}}=\frac{0{,}04}{\sqrt{0{,}04^2+0{,}06^2}} =\frac{0{,}04}{0{,}072111}\approx 0{,}5547.
Campo de UM lado curto:
B_{\text{curto,1}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d_y}\sin\theta_y =\frac{2\times 10^{-7}\times 25}{0{,}06}\times 0{,}5547.
Calcule:
\frac{2\times 10^{-7}\times 25}{0{,}06}= \frac{5{,}0\times 10^{-6}}{0{,}06}=8{,}3333\times 10^{-5},
B_{\text{curto,1}}=8{,}3333\times 10^{-5}\times 0{,}5547\approx 4{,}6224\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Dois lados curtos somam
B_{\text{curtos}}=2B_{\text{curto,1}}\approx 9{,}2448\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Somando as contribuições dos quatro lados (todos no mesmo sentido ao longo de z por simetria):
B_{\text{total}}=B_{\text{longos}}+B_{\text{curtos}} \approx 2{,}08025\times 10^{-4}+9{,}2448\times 10^{-5} \approx 3{,}00473\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Direção: como a corrente é no sentido horário vista de cima, a regra da mão direita para laços diz que o momento magnético (e o campo no centro) aponta para baixo, isto é, no sentido negativo de z. Portanto o vetor campo é -B_{\text{total}}\hat{z}.

Resposta

-3{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}\\ \hat{z}

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