[1 pt] Para cada afirmação abaixo, informe se ela é verdadeira ou falsa. Use a notação assintótica para desenvolver e justificar a sua resposta.
3^{n+4} \in O\left(3^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, usando notação assintótica:
3^{n+4} \in O\!\left(3^{n}\right).
Informações dadas: a expressão \;3^{n+4}\; e o conjunto assintótico O\!\left(3^{n}\right). A pergunta é: a função f(n)=3^{n+4} pertence à classe O(g(n)) com g(n)=3^{n}?

Passo 2

Vou lembrar a definição de O (Big-O) — isso é essencial para provar se a afirmação é verdadeira. A definição formal é:
f(n)\in O(g(n)) \quad\text{se e somente se}\quad \exists\, c>0,\\ \exists\, n_0\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge n_0:\\ f(n)\le c\cdot g(n).
Explicando com calma: escolhemos uma constante positiva c e um ponto n_0 a partir do qual, para todo n maior ou igual a n_0, o valor de f(n) fica no máximo igual a c vezes g(n). Na prova de exame, o truque é reescrever f(n) em função de g(n) e encontrar c e n_0 explicitamente.

Passo 3

Vou reescrever a função dada de forma a relacioná‑la com 3^{n}. Observe que potências com soma no expoente se comportam assim:
3^{n+4} = 3^{4}\cdot 3^{n}.
Essa igualdade é só a propriedade básica a^{x+y}=a^{x}a^{y}.

Passo 4

Calculo o valor numérico de 3^{4} para ter a constante explícita:
3^{4} = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81.
Portanto, da etapa anterior temos a forma
3^{n+4} = 81\cdot 3^{n}.

Passo 5

Agora aplico a definição de O. Queremos c>0 e n_0 tais que, para todo n\ge n_0,
3^{n+4} \le c\cdot 3^{n}.
Usando a igualdade da etapa anterior, isso fica
81\cdot 3^{n} \le c\cdot 3^{n}.
Como 3^{n}>0 para todo n, podemos dividir ambos os lados por 3^{n} sem mudar a desigualdade, obtendo
81 \le c.
Logo basta escolher qualquer constante c maior ou igual a 81. Para n_0 podemos escolher n_0=1 (ou n_0=0); a desigualdade já vale para todo n porque a expressão é exatamente igual a 81\cdot 3^{n}.

Passo 6

Escolhendo explicitamente c=81 e n_0=1, temos que para todo n\ge 1:
3^{n+4} = 81\cdot 3^{n} \le 81\cdot 3^{n} = c\cdot 3^{n},
portanto a condição da definição de O é satisfeita. Isso é uma prova direta e formal, do jeitinho que pedem na prova.

Passo 7

Interpretação e dica prática: quando uma função é apenas uma constante multiplicativa de outra (aqui f(n)=81\cdot g(n)), então f(n)\in O(g(n)). Em geral, para qualquer base fixa a>1 e qualquer inteiro constante k, vale
a^{n+k} = a^{k}\cdot a^{n} \in O(a^{n}).
Na prova, basta expor a igualdade, calcular a constante a^{k} e declarar c=a^{k} e um n_0 qualquer.

Resposta

Verdadeira.

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