[10.13] Mostre que para um Gás de Van der Waals, que obedece a Equação de Estado de Van der Waals:
(P+av^2)(v-b)=R T
Onde a e b são constantes e cV é função apenas da temperatura, uma equação para um processo adiabático é:
T(v-b)^R / cV= constante

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um gás de Van der Waals, com equação de estado
(P+tfracav^2)(v-b)=RT
e capacidade calorífica cV função apenas de T, tem no processo adiabático reversível a relação
T(v-b)^R/cV=constante
Vamos usar termodinâmica fundamental e a relação de Maxwell para derivar isso.

Passo 2

Começamos pela 1ª lei da termodinâmica para um processo reversível:
dU=T,dS - P,dV
Isolando dS obtemos
dS=dU+P,dVT

Passo 3

Sabemos que a energia interna U(T,v) varia com T e V. Seu diferencial é
$$dU=\Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_V dT+\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T dV
=c_V,dT+\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T dV.$$

Passo 4

Usamos a relação de Maxwell para a energia interna:
l(partial Upartial Vr)T=Tl(partial Ppartial Tr)V - P
No gás de Van der Waals P=RT/(v-b)-a/v^2, logo
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V=\frac{R}{v-b}
\quad\Rightarrow\quad
\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T=T\frac{R}{v-b}-\Bigl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v2}\Bigr)=\frac{a}{v2}.
$$

Passo 5

Substituindo em dU e depois em dS:
dU=cV dT+av^2dV, dS=cV dT+av^2dV+P dVT
Mas P+av^2=RT/(v-b), então
$$dS=\frac{c_V dT}{T}+\frac{R,dV}{v-b}.
$$

Passo 6

No processo adiabático reversível, dS=0. Logo:
$$c_V\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{v-b}=0.
cVdTT+RdVv-b=0 á\int\frac{dT}{T}+\frac{R}{c_V}\int\frac{d(v-b)}{v-b}=0
$$ integraldTT+RcVintegrald(v-b)v-b=0
Dessa forma concluímos
$$T,(v-b)^{R/c_V}=constante.
$$

Resposta

T(v-b)^R/cV=constante

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