[10.13] Mostre que para um Gás de Van der Waals, que obedece a Equação de Estado de Van der Waals:
Onde
e
são constantes e
é função apenas da temperatura, uma equação para um processo adiabático é:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um gás de Van der Waals, com equação de estado
e capacidade calorífica
função apenas de
, tem no processo adiabático reversível a relação
Vamos usar termodinâmica fundamental e a relação de Maxwell para derivar isso.
Passo 2
Começamos pela 1ª lei da termodinâmica para um processo reversível:
Isolando
Passo 3
Sabemos que a energia interna
varia com
e
. Seu diferencial é
$$dU=\Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_V dT+\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T dV
=c_V,dT+\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T dV.$$
Passo 4
Usamos a relação de Maxwell para a energia interna:
No gás de Van der Waals
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_V=\frac{R}{v-b}
\quad\Rightarrow\quad
\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T=T\frac{R}{v-b}-\Bigl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v2}\Bigr)=\frac{a}{v2}.
\Bigl(\frac{\partial U}{\partial V}\Bigr)_T=T\frac{R}{v-b}-\Bigl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v2}\Bigr)=\frac{a}{v2}.
$$
Passo 5
Substituindo em
e depois em
:
Mas
, então
$$dS=\frac{c_V dT}{T}+\frac{R,dV}{v-b}.
$$
Passo 6
No processo adiabático reversível,
. Logo:
$$c_V\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{v-b}=0.
$$
Dessa forma concluímos
$$T,(v-b)^{R/c_V}=constante.
$$