[10.15] Mostre que as Diferencias Exatas dos três Potenciais Termodinâmicos Energia Interna
, Entalpia
e Potencial de Helmholtz (Energia Livre de Helmholtz)
podem ser escritos como sendo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as diferenciais exatas dos potenciais termodinâmicos U, H e A podem ser expressas em função de dT e dP, usando as definições de capacidade a pressão constante C_P, coeficiente de expansão térmica β e compressibilidade isotérmica κ. Vamos precisar também das relações fundamentais: dU = T dS – P dV, H = U + P V, A = U – T S, da relação de Maxwell (∂S/∂P)_T = –(∂V/∂T)_P e da expressão de dV em função de dT e dP
Passo 2
Definimos
Logo
Passo 3
Para U(T,P) usamos dU = T dS – P dV e escrevemos
Assim
Passo 4
Para H = U + P V calculamos
Substituindo dU e dV = V,\beta,dT - V,\kappa,dP:
Agrupando termos:
Passo 5
Para A = U - T S usamos dA = dU - T dS - S dT. Mas dU - T dS = -P dV, logo
Substituindo dV = V,\beta,dT - V,\kappa,dP: