[10.16] Faça o que se pede:
(a) Derive a seguinte relação:
(b) Use o resultado do item interior para mostrar que, para um gás perfeito,
é função apenas da temperatura
.
© No caso de um gás que obedece a seguinte Equação de Estado:
Onde
é função apenas da temperatura, mostre que:
Com
sendo o valor de
para volumes muito grandes.
(a) Derive a seguinte relação:
© No caso de um gás que obedece a seguinte Equação de Estado:
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) derivar a relação entre a variação de
com o volume e derivadas de
em
, (b) usar o resultado para mostrar que, no gás perfeito,
não depende de
e © aplicar essa fórmula a um gás com equação de estado
para encontrar
. Vamos usar termodinâmica básica (primeira lei, capacidades e relações de Maxwell).
Passo 2
Começamos pela definição de capacidade térmica a volume constante
e pela primeira lei na forma de energia interna:
Dessa expressão obtemos
Passo 3
Usamos a relação de Maxwell
e reescrevemos
Passo 4
Agora derivamos essa expressão em relação a
, mantendo
fixo, e trocamos a ordem das derivadas:
Passo 5
Calculando a derivada:
Passo 6
Para (b), no gás perfeito
implica
e portanto
. Da relação acima segue
, ou seja,
independe de
e é função somente de
.
Passo 7
No item © tomamos a equação de estado
. Calculamos
Passo 8
Substituindo em (a) vem
Passo 9
Para achar
integramos em
, tomando
quando
:
Passo 10
Logo obtemos o resultado de ©:
Resposta
(a)
(b) No gás ideal , logo
e
© Para :
(b) No gás ideal
© Para