[10.16] Faça o que se pede:
(a) Derive a seguinte relação:
(partial CVpartial V)T=T(partial^2 Ppartial T^2)V
(b) Use o resultado do item interior para mostrar que, para um gás perfeito, CV é função apenas da temperatura T.
© No caso de um gás que obedece a seguinte Equação de Estado:
P vR T=1+Bv
Onde B é função apenas da temperatura, mostre que:
cV=(cV)0-R Tv d^2d T^2(B T)
Com cV sendo o valor de para volumes muito grandes.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) derivar a relação entre a variação de CV com o volume e derivadas de P em T, (b) usar o resultado para mostrar que, no gás perfeito, CV não depende de V e © aplicar essa fórmula a um gás com equação de estado Pv/(RT)=1+B/v para encontrar cV(v,T). Vamos usar termodinâmica básica (primeira lei, capacidades e relações de Maxwell).

Passo 2

Começamos pela definição de capacidade térmica a volume constante CV=l(partial U/partial Tr)V e pela primeira lei na forma de energia interna:
dU=T,dS - P,dV
Dessa expressão obtemos
l(partial Upartial Vr)T = Tl(partial Spartial Vr)T - P

Passo 3

Usamos a relação de Maxwell l(partial S/partial Vr)T=l(partial P/partial Tr)V e reescrevemos
l(partial Upartial Vr)T = Tl(partial Ppartial Tr)V - P

Passo 4

Agora derivamos essa expressão em relação a T, mantendo V fixo, e trocamos a ordem das derivadas:
l(partial CVpartial Vr)T = partialpartial Tl(partial Upartial Vr)T = partialpartial Tl[Tl(partial Ppartial Tr)V - Pr]

Passo 5

Calculando a derivada:
partialpartial Tl(TPT - Pr) = PT + T PTT - PT = T,PTT,onde usamos a notação abreviada PT=(partial P/partial T)V e PTT=(partial^2P/partial T^2)V. Assim chegamos a (a):
l(partial CVpartial Vr)T = Tl(partial^2Ppartial T^2r)V

Passo 6

Para (b), no gás perfeito P V = R T implica P=RT/V e portanto partial^2P/partial T^2=0. Da relação acima segue (partial CV/partial V)T=0, ou seja, CV independe de V e é função somente de T.

Passo 7

No item © tomamos a equação de estado P=RT/v + RTB(T)/v^2. Calculamos
PT=Rv+Rv^2(B+T B'),
PTT=Rv^2ddT(B+T B')=Rv^2l(2B'+T B''r)=Rv^2d^2dT^2(BT)

Passo 8

Substituindo em (a) vem
l(partial CVpartial Vr)T = TRv^2d^2dT^2(BT)

Passo 9

Para achar CV(v,T) integramos em v, tomando CVto(CV)0 quando vtoinfty:
CV(v,T)-(CV)0 = integralinfty^v TRv'^2d^2dT^2(BT),dv' = -TRvd^2dT^2(BT)

Passo 10

Logo obtemos o resultado de ©:
cV(v,T)=(cV)0 - RTvd^2dT^2(BT)

Resposta

(a) (partial CV/partial V)T = T(partial^2P/partial T^2)V
(b) No gás ideal partial^2P/partial T^2=0, logo (partial CV/partial V)T=0 e CV=CV(T)
© Para Pv/(RT)=1+B/v:
cV=(cV)0 - RTvd^2dT^2(BT)

Exercícios relacionados