[10.17] Faça o que se pede:
(a) Derive a seguinte relação:
(b) Use o resultado do item interior para mostrar que, para um gás perfeito,
é função apenas da temperatura
.
© No caso de um gás que obedece a seguinte Equação de Estado:
Onde
é função apenas da temperatura, mostre que:
Com
sendo o valor de
para pressões muito baixas.
(a) Derive a seguinte relação:
© No caso de um gás que obedece a seguinte Equação de Estado:
Passo 1
O enunciado pede três coisas: em (a) derivar a relação
, em (b) usar esse resultado para mostrar que, num gás perfeito,
depende só de
, e em © aplicar tudo a um gás com equação de estado
, mostrando que
. Vamos precisar das definições termodinâmicas de entalpia, capacidades térmicas e das relações de Maxwell.
Passo 2
Começamos de
e do diferencial
. Desse diferencial tiramos que
Mas pela relação de Maxwell
. Logo
Passo 3
Para obter
usamos derivadas parciais mistas em
:
Substituindo o valor de
e derivando em relação a
(mantendo
fixo), obtemos
Passo 4
Para o gás perfeito temos
, que é linear em
. Assim
e, pela relação de (a),
. Logo
não depende de
, apenas de
.
Passo 5
No caso do gás com
temos
Então
Da relação de (a) segue
Integrando em
P (em cada
T fixo) de 0 a
P e chamando
(cP)0 o valor em pressão muito baixa, obtemos
Passo 6
Chegamos assim aos três resultados pedidos.
Resposta
(a)
l(partial CPpartial Pr)T = -T,l(partial^2 Vpartial T^2r)P ;
(b) para gás perfeitoV=RT/P implica
partial^2V/partial T^2=0 e portanto
partial CP/partial P=0 , logo
CP=CP(T) ;
© paraP v=RT+B P resulta em
cP=(cP)0 - Tdfracd^2dT^2(B P) .
(b) para gás perfeito
© para