[9.4] Usando a Equação de Estado de Berthelot:
P=R Tv-b-aT v^2
Mostre que:
PC=112 b raiz2 a R3 b ; vC=3 b ; TC=raiz8 a27 b R
E compare o valor de R TCPC vC com os valores da tabela 1.
Tabela 1: Valores calculados de
Substância lc hline mu
4,36
Amônia 4,13
Dióxido de Carbono 3,64
Oxigênio 3,49
Nitrogênio 3,44
Hélio 3,34
Hidrogênio 3,26
Gás de Van der Waals 2,67
Gás Perfeito 1,00

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar as constantes críticas a partir da equação de Berthelot
Conteúdo: termodinâmica de equações de estado cúbicas. Vamos usar as condições de ponto crítico (ponto de inflexão) para encontrar vC, TC e depois PC.

Passo 2

No ponto crítico a isoterma apresenta inflexão, ou seja
partial Ppartial vg|T = 0
partial^2 Ppartial v^2g|T = 0
Da equação de Berthelot
P = R Tv - b - aT v^2
derivamos em relação a v:
partial Ppartial v = -R T(v - b)^2 + 2aT v^3 = 0
partial^2 Ppartial v^2 = 2R T(v - b)^3 - 6aT v^4 = 0

Passo 3

Dividindo a segunda condição pela primeira, eliminamos T:
1/(v-b)^31/(v-b)^2 = 3/(T v^4)2/(T v^3)
que dá
1v-b = 32v
Logo
vC = 3b

Passo 4

Substituindo vC=3b em partial P/partial v=0 obtemos
R TC(3b - b)^2 = 2aTC (3b)^3
TC^2 = 8a27 b R
Logo
TC = raiz8a27 b R

Passo 5

Para PC usamos a equação de estado com vC e TC:
PC = R TC3b - b - aTC (3b)^2
Depois de simplificar,
PC = 112 b raiz2 a R3 b

Passo 6

Calculamos o fator de compressibilidade crítico
ZC = R TCPC vC
Substituindo os valores críticos,
ZC = 83 approx 2,67
Comparando com a tabela 1, esse valor coincide com o do gás de Van der Waals (2,67) e é menor que os valores observados em substâncias reais (água 4,36; amônia 4,13; etc.).

Resposta

P_C = \frac{1}{12 b}\sqrt{\frac{2 a R}{3 b}}, ; v_C = 3 b, ; T_C = \sqrt{\frac{8 a}{27 b R}}, ; \frac{R T_C}{P_C v_C} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67

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