[10.5] Um outro conjunto de Potenciais Termodinâmicos para uma Substância Pura podem ser definidos aplicando a Transformada de Legendre na Entropia S(U, V) em vez de aplicá-la na Energia Interna U(S, V). Estes dois Potenciais Termodinâmicos são muito utilizados em Mecânica Estatística e Termodinâmica de Processos Irreversíveis, em contraste à Termodinâmica de Equilíbrio apresentada na disciplina CF-370.
(a) Mostre que a Transformada de Legendre da Entropia S(U, V) produz o Potencial Termodinâmico J(V, 1 / T), conhecido como Potencial de Massieu ou Função de Massieu:
J=S-UT=-AT
E a sua diferencial exata:
d J=UT^2 d T+PT d V
(b) Mostre que a Transformada de Legendre do Potencial de Massieu J(V, 1 / T) produz o Potencial Termodinâmico Y(P / T, 1 / T) conhecido como Potencial de Planck ou Função de Planck:
Y=S-HT=-GT
E a sua diferencial exata:
d Y=HT^2 d T-VT d P

Passo 1

O enunciado pede a aplicação da Transformada de Legendre na entropia S(U,V) para obter o potencial de Massieu J(V,1/T) e, em seguida, na função J para obter o potencial de Planck Y(P/T,1/T). Vamos usar entropia, energia interna, temperatura, pressão e os potenciais livres de Helmholtz, Gibbs e entalpia.

Passo 2

Começando por (a), lembramos a relação fundamental:
dS = 1T,dU + PT,dV
Definimos o potencial de Massieu como J = S - tfracUT.

Passo 3

Usando a definição de energia livre de Helmholtz A = U - TS, temos
J = S - UT = -AT.

Passo 4

Para achar o diferencial de J, calculamos
dJ = dS - 1T,dU - U,dl(tfrac1Tr)
com d(1/T) = -1T^2,dT. Substituindo dS obtemos
dJ = UT^2,dT + PT,dV.

Passo 5

Para (b), usamos entalpia H=U+PV e energia livre de Gibbs G=H-TS. Definimos
Y = S - HT = S - U+PVT = J - PTV = -GT.

Passo 6

Calculamos o diferencial de Y:
dY = dJ - V,dl(tfracPTr) - PT,dV
com d(P/T)=1T,dP - PT^2,dT. Após reorganizar, resulta
dY = HT^2,dT - VT,dP.

Resposta

(a) J = S - UT = -AT e dJ = UT^2dT + PTdV. (b) Y = S - HT = -GT e dY = HT^2dT - VTdP.

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