[10.8] Derive a Terceira Equação T d S :
T d S=CV(partial Tpartial P)V d P+CP(partial Tpartial V)P d V
E sendo a primeira e a segunda Equações T d S, respectivamente:
T d S=CV d T+T(partial Ppartial T)V d V ; e T d S=CP d T-T(partial Vpartial T)P d P
Mostre que elas podem ser escritas das seguintes maneiras:
(a) A Primeira Equação T d S pode ser escrita como sendo: T d S=CV d T+betakappa T d V
Sendo:
beta=1V(partial Vpartial T)P e kappa=-1V(partial Vpartial P)T

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a primeira equação TdS, que é
T,dS = CV,dT + Tl(partial Ppartial Tr)V dV,
pode ser reescrita como
T,dS = CV,dT + betakappa,T,dV,
onde
$$\beta=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P,\quad
\kappa=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_T.$$
Vamos precisar relacionar (∂P/∂T)_V com β e κ.

Passo 2

Começamos escrevendo o diferencial total de V(P,T):
dV = l(partial Vpartial Pr)T dP + l(partial Vpartial Tr)P dT
Para dV=0 (processo a volume constante) temos
0 = l(partial Vpartial Pr)T dP + l(partial Vpartial Tr)P dT Longrightarrow l(dPdTr)V = -(partial V/partial T)P(partial V/partial P)T

Passo 3

Agora usamos as definições de β e κ:
$$(\partial V/\partial T)_P = V,\beta,\qquad
(\partial V/\partial P)_T = -V,\kappa.$$
Substituindo em
(partial V/partial T)P = V,beta, (partial V/partial P)T = -V,kappa

Passo 4

Finalmente, na equação original
T,dS = CV,dT + Tl(partial Ppartial Tr)V dV
substituímos
l(partial Ppartial Tr)V = betakappa
e obtemos
T,dS = CV,dT + betakappa,T,dV,
que é o que queríamos demonstrar.

Resposta

T,dS = CV,dT + betakappa,T,dV

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