[10.8] Derive a Terceira Equação
:
E sendo a primeira e a segunda Equações
, respectivamente:
Mostre que elas podem ser escritas das seguintes maneiras:
(a) A Primeira Equação
pode ser escrita como sendo:
Sendo:
(a) A Primeira Equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a primeira equação TdS, que é
pode ser reescrita como
onde
$$\beta=\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_P,\quad
\kappa=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_T.$$
Vamos precisar relacionar (∂P/∂T)_V com β e κ.
Passo 2
Começamos escrevendo o diferencial total de V(P,T):
Para dV=0 (processo a volume constante) temos
Passo 3
Agora usamos as definições de β e κ:
$$(\partial V/\partial T)_P = V,\beta,\qquad
(\partial V/\partial P)_T = -V,\kappa.$$
Substituindo em
Passo 4
Finalmente, na equação original
substituímos
e obtemos
que é o que queríamos demonstrar.