10.59. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x^{\prime} que passa pelo centroide C da secā̆o transversal. \bar{u}=104.3 \mathrm{~mm}

Passo 1

O que o problema pede e o que eu tenho disponível.
  • Pedido: determinar o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x' que passa pelo centroid C da seção.
  • Informação fornecida (peguei da figura e do enunciado): \bar{u}=104{,}3\\ \mathrm{mm} (distância do ponto de referência usado na figura até o centróide C).
  • Informação extraída da imagem (valores geométricos que vou usar, listados detalhadamente na seção de imagens): diâmetro semicircunferência superior 35\\ \mathrm{mm}, diâmetro semicircunferência inferior 50\\ \mathrm{mm}, altura do retângulo 150\\ \mathrm{mm}, espessura (largura) do retângulo 15\\ \mathrm{mm}.
  • Objetivo operacional: modelar a seção como a soma de três partes simples (semicírculo superior, retângulo, semicírculo inferior), calcular momento de inércia de cada parte em seu eixo centroidal paralelo a x' e usar o teorema dos eixos paralelos para obter I_{x'} da seção total.

Passo 2

Método (em palavras simples) e fórmulas essenciais que vou usar — explicando cada símbolo.
  • Método: seção composta. Para cada peça i (topo: semicirc. menor, meio: retângulo, base: semicirc. maior) calculo:
    1. área A_i,
    2. posição do centroid y_i em relação ao mesmo referencial vertical (vou usar como referência o ponto superior da semicírc. superior, conforme a figura),
    3. momento de inércia da peça em relação ao eixo que passa pelo seu próprio centroid e é paralelo a x': I_{i,\text{centro}},
    4. aplico o teorema dos eixos paralelos para deslocar cada I_{i,\text{centro}} até o eixo x' que passa pelo centroid da seção total: I_{i\to x'} = I_{i,\text{centro}} + A_i d_i^2,em que d_i é a distância vertical entre o centroid da peça i e o centroid da seção C.
    5. somo as contribuições: I_{x'}=\sum_i I_{i\to x'}.
  • Fórmulas importantes (explicadas):
    • Área semicircunferência de raio r: \displaystyle A_{\text{semi}}=\tfrac{1}{2}\pi r^{2}.
    • Distância do centroide de um semicírculo ao seu lado plano (a partir do lado plano, na direção do bulbo): \displaystyle y_{\text{semi,rel\\ ao plano}}=\dfrac{4r}{3\pi}. Vou adaptar essa posição ao meu referencial.
    • Área do retângulo: \displaystyle A_{\text{rect}}=b h, onde b é a largura (espessura) e h a altura vertical.
    • Momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal: \displaystyle I_{\text{rect,centro}}=\dfrac{b h^{3}}{12}.
    • Momento de inércia de um semicírculo em relação ao seu eixo centroidal, paralelo à base: existe uma fórmula padrão: I_{\text{semi,centro}}=\left(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{8}{9\pi}\right)r^{4}.Explicação curta: essa expressão vem de integrar a distribuição de área do semicírculo e subtrair o deslocamento entre o eixo pelo plano (onde a integral é mais simples) e o eixo pelo centroide; o fator \dfrac{\pi}{8} aparece em momentos de uma meia-distribuição circular e o termo \dfrac{8}{9\pi} corresponde à correção trazida pelo teorema dos eixos usando o afastamento 4r/(3\pi).

Passo 3

Definir parâmetros numéricos (peguei estes números da imagem).
  • Semicírculo superior: diâmetro 35\\ \mathrm{mm} \Rightarrow raio r_1=17{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Retângulo (haste): largura b=15\\ \mathrm{mm}, altura h=150\\ \mathrm{mm}.
  • Semicírculo inferior: diâmetro 50\\ \mathrm{mm} \Rightarrow raio r_3=25\\ \mathrm{mm}.
  • Referencial vertical: origem no ponto mais alto (topo da semicírc. superior). O centróide total fornecido é \bar{u}=104{,}3\\ \mathrm{mm} medido desse mesmo referencial (vou usar esse valor para as distâncias d_i).

Passo 4

Calcular as áreas A_i.
  • Para o semicírculo superior: A_1=\tfrac{1}{2}\pi r_1^2=\tfrac{1}{2}\pi(17{,}5)^2.Substituindo, A_1\approx 481{,}056375\\ \mathrm{mm}^2.
  • Para o retângulo: A_2=b h=15\times150=2250\\ \mathrm{mm}^2.
  • Para o semicírculo inferior: A_3=\tfrac{1}{2}\pi r_3^2=\tfrac{1}{2}\pi(25)^2\approx981{,}747704\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área total (soma das três partes): A_{\text{total}}=A_1+A_2+A_3\approx3712{,}804079\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Calcular as posições dos centróides y_i (distância medida a partir do topo, nosso referencial).
  • Semicírculo superior: o plano reto que o une ao retângulo está a r_1=17{,}5\\ \mathrm{mm} do topo, e o centroide do semicírculo mede 4r_1/(3\pi) a partir desse plano no sentido do bulbo. Logo, a distância do topo ao centroide do semicírculo superior é y_1 = r_1 - \dfrac{4r_1}{3\pi} = r_1\Big(1-\dfrac{4}{3\pi}\Big).Substituindo, y_1\approx 10{,}067269\\ \mathrm{mm}.
  • Retângulo: seu topo está a r_1=17{,}5\\ \mathrm{mm} do topo total; o centro do retângulo fica a h/2=75\\ \mathrm{mm} abaixo do topo do retângulo. Assim y_2 = r_1 + \dfrac{h}{2} =17{,}5+75=92{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Semicírculo inferior: o plano de união com o retângulo está a r_1+h=17{,}5+150=167{,}5\\ \mathrm{mm} do topo; o centroide do semicírculo inferior está a \dfrac{4r_3}{3\pi} abaixo desse plano. Portanto y_3 = r_1 + h + \dfrac{4r_3}{3\pi}\approx 178{,}110612\\ \mathrm{mm}.
  • Observação de verificação: se eu calcular o centróide composto por \dfrac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} obtenho aproximadamente 104{,}47\\ \mathrm{mm}, muito próximo do valor fornecido \bar{u}=104{,}3\\ \mathrm{mm}. Vou usar o valor dado \bar{u}=104{,}3\\ \mathrm{mm} para os deslocamentos porque é o valor fornecido no enunciado.

Passo 6

Fórmulas dos momentos de inércia centroidais das peças (relembrando o que significa cada termo).
  • Retângulo (eixo horizontal pelo seu centro): I_{2,\text{centro}}=\dfrac{b h^{3}}{12}.Substituindo b=15, h=150: I_{2,\text{centro}}=\dfrac{15\times150^{3}}{12}=4\,218\,750\\ \mathrm{mm}^4.
  • Semicírculos (eixo horizontal pelo próprio centroide do semicírculo): I_{\text{semi,centro}}=\Big(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{8}{9\pi}\Big)r^{4}.Esse é o momento de inércia do semicírculo em relação ao eixo que passa pelo próprio centroide e é paralelo à base plana.

Passo 7

Calcular I_{1,\text{centro}} e I_{3,\text{centro}}.
  • Para o semicírculo superior ( r_1=17{,}5\\ \mathrm{mm}): I_{1,\text{centro}}=\Big(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{8}{9\pi}\Big)r_1^{4} \approx 10\,373{,}47\\ \mathrm{mm}^4.
  • Para o semicírculo inferior ( r_3=25\\ \mathrm{mm}): I_{3,\text{centro}}=\Big(\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{8}{9\pi}\Big)r_3^{4} \approx 43\,204{,}83\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 8

Calcular os deslocamentos d_i entre os centróides das peças e o centróide total C (uso \bar{u}=104{,}3\\ \mathrm{mm} como posição de C no referencial do topo).
  • Para o semicírculo superior: d_1 = |\,\bar{u}-y_1\,| = 104{,}3 - 10{,}067269 \approx 94{,}233\\ \mathrm{mm}.
  • Para o retângulo: d_2 = |\,\bar{u}-y_2\,| = 104{,}3 - 92{,}5 = 11{,}8\\ \mathrm{mm}.
  • Para o semicírculo inferior: d_3 = |\,y_3-\bar{u}\,| = 178{,}110612 - 104{,}3 \approx 73{,}811\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Aplicar o teorema dos eixos paralelos e somar contribuições para obter I_{x'}.
  • Para cada peça calculo I_{i\to x'}=I_{i,\text{centro}}+A_i d_i^2.
    • Semicírculo superior: I_{1\to x'} \approx 10\,373{,}47 + 481{,}056375\times(94{,}233)^2 \approx 4\,278\,872{,}4\\ \mathrm{mm}^4.
    • Retângulo: I_{2\to x'} = 4\,218\,750 + 2250\times(11{,}8)^2 =4\,218\,750 + 313\,290 =4\,532\,040\\ \mathrm{mm}^4.
    • Semicírculo inferior: I_{3\to x'} \approx 43\,204{,}83 + 981{,}747704\times(73{,}811)^2 \approx 5\,391\,972{,}3\\ \mathrm{mm}^4.
  • Soma final: I_{x'}=\;I_{1\to x'}+I_{2\to x'}+I_{3\to x'} \approx 4\,278\,872{,}4 + 4\,532\,040 + 5\,391\,972{,}3 \approx 14\,202\,884{,}7\\ \mathrm{mm}^4.
  • Arredondando para algarismos significativos coerentes com os dados: I_{x'} \approx 1{,}42\times 10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.

Resposta

I_{x'} \approx 1{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4

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