10.59. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo
que passa pelo centroide
da secā̆o transversal.
Passo 1
O que o problema pede e o que eu tenho disponível.
- Pedido: determinar o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo
que passa pelo centroid da seção. - Informação fornecida (peguei da figura e do enunciado):
(distância do ponto de referência usado na figura até o centróide ). - Informação extraída da imagem (valores geométricos que vou usar, listados detalhadamente na seção de imagens): diâmetro semicircunferência superior
, diâmetro semicircunferência inferior , altura do retângulo , espessura (largura) do retângulo . - Objetivo operacional: modelar a seção como a soma de três partes simples (semicírculo superior, retângulo, semicírculo inferior), calcular momento de inércia de cada parte em seu eixo centroidal paralelo a
e usar o teorema dos eixos paralelos para obter da seção total.
Passo 2
Método (em palavras simples) e fórmulas essenciais que vou usar — explicando cada símbolo.
- Método: seção composta. Para cada peça
(topo: semicirc. menor, meio: retângulo, base: semicirc. maior) calculo: - área
, - posição do centroid
em relação ao mesmo referencial vertical (vou usar como referência o ponto superior da semicírc. superior, conforme a figura), - momento de inércia da peça em relação ao eixo que passa pelo seu próprio centroid e é paralelo a
: , - aplico o teorema dos eixos paralelos para deslocar cada
até o eixo que passa pelo centroid da seção total: em que é a distância vertical entre o centroid da peça e o centroid da seção . - somo as contribuições:
.
- área
- Fórmulas importantes (explicadas):
- Área semicircunferência de raio
: . - Distância do centroide de um semicírculo ao seu lado plano (a partir do lado plano, na direção do bulbo):
. Vou adaptar essa posição ao meu referencial. - Área do retângulo:
, onde é a largura (espessura) e a altura vertical. - Momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal:
. - Momento de inércia de um semicírculo em relação ao seu eixo centroidal, paralelo à base: existe uma fórmula padrão:
Explicação curta: essa expressão vem de integrar a distribuição de área do semicírculo e subtrair o deslocamento entre o eixo pelo plano (onde a integral é mais simples) e o eixo pelo centroide; o fator aparece em momentos de uma meia-distribuição circular e o termo corresponde à correção trazida pelo teorema dos eixos usando o afastamento .
- Área semicircunferência de raio
Passo 3
Definir parâmetros numéricos (peguei estes números da imagem).
- Semicírculo superior: diâmetro
raio . - Retângulo (haste): largura
, altura . - Semicírculo inferior: diâmetro
raio . - Referencial vertical: origem no ponto mais alto (topo da semicírc. superior). O centróide total fornecido é
medido desse mesmo referencial (vou usar esse valor para as distâncias ).
Passo 4
Calcular as áreas
.
- Para o semicírculo superior:
Substituindo, - Para o retângulo:
- Para o semicírculo inferior:
- Área total (soma das três partes):
Passo 5
Calcular as posições dos centróides
(distância medida a partir do topo, nosso referencial).
- Semicírculo superior: o plano reto que o une ao retângulo está a
do topo, e o centroide do semicírculo mede a partir desse plano no sentido do bulbo. Logo, a distância do topo ao centroide do semicírculo superior é Substituindo, - Retângulo: seu topo está a
do topo total; o centro do retângulo fica a abaixo do topo do retângulo. Assim - Semicírculo inferior: o plano de união com o retângulo está a
do topo; o centroide do semicírculo inferior está a abaixo desse plano. Portanto - Observação de verificação: se eu calcular o centróide composto por
obtenho aproximadamente , muito próximo do valor fornecido . Vou usar o valor dado para os deslocamentos porque é o valor fornecido no enunciado.
Passo 6
Fórmulas dos momentos de inércia centroidais das peças (relembrando o que significa cada termo).
- Retângulo (eixo horizontal pelo seu centro):
Substituindo , : - Semicírculos (eixo horizontal pelo próprio centroide do semicírculo):
Esse é o momento de inércia do semicírculo em relação ao eixo que passa pelo próprio centroide e é paralelo à base plana.
Passo 7
Calcular
e
.
- Para o semicírculo superior (
): - Para o semicírculo inferior (
):
Passo 8
Calcular os deslocamentos
entre os centróides das peças e o centróide total
(uso
como posição de
no referencial do topo).
- Para o semicírculo superior:
- Para o retângulo:
- Para o semicírculo inferior:
Passo 9
Aplicar o teorema dos eixos paralelos e somar contribuições para obter
.
- Para cada peça calculo
. - Semicírculo superior:
- Retângulo:
- Semicírculo inferior:
- Semicírculo superior:
- Soma final:
- Arredondando para algarismos significativos coerentes com os dados: