10.42. Determine o momento de inércia da area da seque transversal da viga em relação ao eixo y.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo y (eixo vertical que passa pelo centro da seção).
Informações dadas (extraídas da imagem):
  • Espessura da alma (web): 7{,}5\\ \text{mm}.
  • Altura da alma medida a partir da linha central: 115\\ \text{mm} para cima e 115\\ \text{mm} para baixo (logo a altura total da alma é 2\cdot115=230\\ \text{mm}).
  • Espessura das abas (flanges): 15\\ \text{mm} (cada uma).
  • Largura da aba à esquerda: 50\\ \text{mm} e à direita: 50\\ \text{mm} (logo largura total da flange 100\\ \text{mm}).
  • O eixo y passa verticalmente pelo centro geométrico da seção (eixos mostrados na figura).

Passo 2

Escolha do método e fórmulas úteis (explicação didática):
  • A seção é composta por três retângulos simples: flange superior, alma (web) e flange inferior. Para obter I_y da seção total, somamos os momentos de inércia dos três retângulos em relação ao mesmo eixo y.
  • Regra prática: se os centróides das peças estiverem sobre o mesmo eixo vertical y (como aqui), não é preciso aplicar o teorema dos eixos paralelos (não há deslocamento horizontal entre centróides). Basta somar os momentos de inércia de cada peça em relação ao seu eixo vertical central.
  • Fórmula do momento de inércia de um retângulo em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centróide:
I_y(\text{retângulo})=\frac{h\,b^{3}}{12},â
onde:
  • h é a altura vertical do retângulo (espessura na direção vertical, em mm),
  • b é a largura horizontal do retângulo (em mm).
  • Área de um retângulo (se necessário): A=h\cdot b. (Aqui usamos só para referência.)

Passo 3

Definir as dimensões numéricas de cada peça (usando os dados da imagem):
  • Cada flange (superior e inferior):
    • altura vertical (espessura) h_f=15\\ \text{mm},
    • largura horizontal b_f=50+50=100\\ \text{mm}.
  • Alma (web):
    • altura vertical h_w=115+115=230\\ \text{mm},
    • largura horizontal (espessura) b_w=7{,}5\\ \text{mm}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia de uma flange em torno do eixo y central:
I_{y,\text{flange}}=\frac{h_f\,b_f^{3}}{12} =\frac{15\cdot 100^{3}}{12}.
Passo a passo numérico:
  • 100^{3}=1\,000\,000.
  • 15\cdot 1\,000\,000=15\,000\,000.
  • \dfrac{15\,000\,000}{12}=1\,250\,000.
    Logo
I_{y,\text{flange}}=1\,250\,000\\ \text{mm}^{4}.

Passo 5

Como há duas flanges (superior e inferior) e ambas estão centradas no eixo y, o momento de inércia total das flanges é:
I_{y,\text{flanges}}=2\cdot I_{y,\text{flange}}=2\cdot 1\,250\,000=2\,500\,000\\ \text{mm}^{4}.

Passo 6

Cálculo do momento de inércia da alma (web) em torno do eixo y central:
I_{y,\text{web}}=\frac{h_w\,b_w^{3}}{12} =\frac{230\cdot 7{,}5^{3}}{12}.
Passo a passo numérico:
  • 7{,}5^{2}=56{,}25.
  • 7{,}5^{3}=7{,}5\cdot 56{,}25=421{,}875.
  • 230\cdot 421{,}875=97\,031{,}25.
  • \dfrac{97\,031{,}25}{12}=8\,085{,}9375.
    Logo
I_{y,\text{web}}\approx 8\,085{,}9375\\ \text{mm}^{4}.

Passo 7

Somar as contribuições:
I_{y,\text{total}}=I_{y,\text{flanges}}+I_{y,\text{web}} =2\,500\,000+8\,085{,}9375=2\,508\,085{,}9375\\ \text{mm}^{4}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
I_{y,\text{total}}\approx 2{,}51\times 10^{6}\\ \text{mm}^{4}.

Resposta

I_{y}\approx 2{,}508{,}086\\ \text{mm}^{4}

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