5.5-10 Um dormente de via férrea é sujeito a duas cargas concentradas devido aos trilhos, cada uma de magnitude P=175 \mathrm{kN}. A reação q do lastro (camada de material granular que compõe a superestrutura da via) é assumida uniformemente distribuída ao longo do comprimento do dormente, que tem dimensões da seção transversal b=300mm e h=250 \mathrm{~mm}. Calcule a máxima tensão provocada por momento fletor devido à aplicação das cargas P, assumindo L=1500 \mathrm{~mm} e a=500 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado descreve um dormente (como vigota apoiada continuamente pelo lastro) de comprimento total L_{\text{tot}}=2a+L, com dois carregamentos concentrados iguais P=175\\ \mathrm{kN} aplicados a distâncias a=500\\ \mathrm{mm} das extremidades e separadas por L=1500\\ \mathrm{mm}. O lastro exerce uma reação uniformemente distribuída q por unidade de comprimento, tal que o equilíbrio vertical satisfaz
q\,(2a+L)=2P.
Queremos encontrar a tensão máxima de flexão no dormente, o que requer:
1. calcular q;
2. montar o diagrama de esforços cortante e de momento fletor;
3. localizar o ponto de momento extremo (onde V=0);
4. calcular esse momento máximo M_{\max};
5. usar \sigma_{\max}=M_{\max}\,c/I com b=300\\ \mathrm{mm}, h=250\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Equilíbrio das forças verticais dá
q\,(2a+L)=2P \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{2P}{2a+L} =\frac{2\cdot175\,000}{2\cdot500+1500} =\frac{350\,000}{2500} =140\\ \mathrm{N/mm}.

Passo 3

Adotamos x\) medido desde a extremidade esquerda. O esforço cortante \(V(x)\) é \[V(x)= \begin{cases} q\,x, & 0\le x<a,\\[6pt] q\,x-P, & a\le x\le a+L,\\[6pt] q\,x-2P, & a+L<x\le2a+L. \end{cases}
O momento fletor correspondente, tomando M(0)=0\], é \[M(x)= \begin{cases} \dfrac{q\,x^2}{2}, & 0\le x\le a,\\[8pt] \dfrac{q\,x^2}{2}-P\,(x-a), & a\le x\le a+L. \end{cases}\] Para achar o ponto de momento extremo na região entre as cargas, impomos \(V(x)=0 em a\le x\le a+L:
q\,x - P = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{P}{q} = \frac{175\,000}{140} =1250\\ \mathrm{mm}.
Note que 1250\in[a,\,a+L]=[500,\,2000], logo lá temos o momento de maior módulo.]

Passo 4

Calculamos o momento nesse ponto x=1250\\ \mathrm{mm} usando a expressão adequada ( a\le x\le a+L):
M_{\max} = M(1250) = \frac{q\,(1250)^2}{2}\;-\;P\,(1250-500).
Substituindo valores:
\frac{140\,(1250)^2}{2} = \frac{140\cdot1\,562\,500}{2} =109\,375\,000\\ \mathrm{N\,mm},
P\,(1250-500) =175\,000\cdot750 =131\,250\,000\\ \mathrm{N\,mm},
M_{\max} =109\,375\,000 - 131\,250\,000 =-21\,875\,000\\ \mathrm{N\,mm}.
O sinal negativo indica curvatura inversa, mas a magnitude é
|M_{\max}|=21{,}875\times10^6\\ \mathrm{N\,mm}.

Passo 5

A seção tem
I=\frac{b\,h^3}{12} =\frac{300\cdot250^3}{12} =3{,}90625\times10^8\\ \mathrm{mm^4}, \quad c=\frac{h}{2}=125\\ \mathrm{mm}.
A tensão máxima é
\sigma_{\max} =\frac{|M_{\max}|\,c}{I} =\frac{21{,}875\times10^6\cdot125}{3{,}90625\times10^8} =7{,}0\\ \mathrm{N/mm^2}.

Resposta

A máxima tensão de flexão no dormente é \boxed{7{,}0\\ \mathrm{MPa}}.

Exercícios relacionados