Ex. 6-4 Uma viga T invertida, feita de concreto pré-moldado, é utilizada para dar suporte às lajes de um estacionamento. As dimensões da viga são b= 500 \mathrm{~mm}, b_{w}=300 \mathrm{~mm}, d=600 \mathrm{~mm} e t_{f}=100 \mathrm{~mm}. As armaduras consistem em quatro barras de aço de 25 mm de diâmetro. Os módulos de elasticidade e as tensões admissíveis são E_{C}=25 \mathrm{GPa}, \sigma_{a c}=9,3 \mathrm{MPa}, para o concreto e E_{S}= 200 GPa , \sigma_{a s}=137 \mathrm{MPa}, para o aço. (a) Determine o máximo momento fletor admissível que pode ser aplicado à viga; (b) Repita a letra ‘a’ para o caso em que seja adotada uma viga T (não invertida).

Passo 1

O enunciado trata de uma viga em “T” invertida de concreto armado, com as seguintes características geométricas e materiais:
\bullet flange (largura b=500 mm, espessura t_f=100 mm) e alma (largura b_w=300 mm, altura útil d-t_f=600-100=500 mm), total d=600 mm.
\bullet quatro barras de aço de diâmetro 25 mm, todas situadas no plano médio da flange (ou seja, a 50 mm da face inferior).
\bullet módulos de elasticidade E_c=25 GPa, E_s=200 GPa \Rightarrow razão modular
n=\frac{E_s}{E_c}=\frac{200}{25}=8.
\bullet tensões admissíveis \sigma_{ac}=9{,}3 MPa (concreto, compressão) e \sigma_{as}=137 MPa (aço, tração).
Pede-se (a) o momento máximo admissível para essa viga invertida e (b) repetir para viga “T” não invertida.

Passo 2

Transformação da seção para “concreto equivalente”:
1. Área da flange:
A_f = b\,t_f = 500\cdot100 =50\,000\\ \text{mm}^2,
centroide em y_f=50 mm (medido da face inferior).
2. Área da alma:
A_w = b_w\,(d-t_f) =300\cdot500 =150\,000\\ \text{mm}^2,
centroide em
y_w = t_f + \frac{d-t_f}{2} =100 + \frac{500}{2} =350\\ \text{mm}.
3. Área de aço total:
A_s =4\cdot\frac{\pi\,(25)^2}{4}\approx4\cdot490{,}9=1\,963{,}5\\ \text{mm}^2,
transformada em concreto:
A_s' = n\,A_s =8\cdot1\,963{,}5=15\,708\\ \text{mm}^2,
centroide em y_s=50 mm.
A área total transformada é
A_t = A_f + A_w + A_s' =50\,000 +150\,000 +15\,708 =215\,708\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Cálculo da posição do eixo neutro (distância y_\mathrm{NA} da face inferior):
y_\mathrm{NA} =\frac{A_f\,y_f + A_w\,y_w + A_s'\,y_s}{A_t} =\frac{50\,000\cdot50 +150\,000\cdot350 +15\,708\cdot50}{215\,708} \approx258{,}6\\ \text{mm}.

Passo 4

Momento de inércia transformado I_t em relação ao neutro:
1. flange:
I_f = \frac{b\,t_f^3}{12} \;+\; A_f\,(y_\mathrm{NA}-y_f)^2 = \frac{500\cdot100^3}{12} +50\,000\,(258{,}6-50)^2 \approx2{,}22\times10^9\\ \text{mm}^4.
2. alma:
I_w = \frac{b_w\,(d-t_f)^3}{12} \;+\; A_w\,(y_w-y_\mathrm{NA})^2 \approx4{,}38\times10^9\\ \text{mm}^4.
3. aço (transformado):
I_s = A_s'\,(y_\mathrm{NA}-y_s)^2 \approx6{,}83\times10^8\\ \text{mm}^4.
Somando,
I_t \approx2{,}22 +4{,}38 +0{,}68 =7{,}28\times10^9\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Momento limite imposto pelo concreto em compressão (fibra mais afastada acima do neutro, em y_c=600-258,6=341,4 mm):
\sigma_{ac} = \frac{M\,y_c}{I_t} \;\Longrightarrow\; M_c = \sigma_{ac}\,\frac{I_t}{y_c} =9{,}3\cdot\frac{7{,}28\times10^9}{341{,}4} \approx1{,}98\times10^8\\ \text{N\cdotmm} =198{,}0\\ \text{kN\cdotm}.

Passo 6

Momento limite imposto pelo aço em tração (distância do neutro à barra y_s'=258{,}6-50=208{,}6 mm):
\sigma_{as} = n\,\frac{M\,y_s'}{I_t} \;\Longrightarrow\; M_s = \sigma_{as}\,\frac{I_t}{n\,y_s'} =137\cdot\frac{7{,}28\times10^9}{8\cdot208{,}6} \approx5{,}97\times10^8\\ \text{N\cdotmm} =597{,}4\\ \text{kN\cdotm}.

Passo 7

O momento admissível é o menor dos dois limites:
M_{\max} = \min(M_c,\;M_s) =198{,}0\\ \text{kN\cdotm}.

Passo 8

Para a viga “T” não invertida, basta observar que a geometria e a disposição dos reforços se reduzem a um giro de 180^\circ da situação anterior. Portanto, a capacidade à flexão (módulo de ruptura) tem o mesmo valor em módulo, trocando-se apenas o sentido do momento.

Resposta

(a) M_{\max}=198{,}0\\ \text{kN\cdotm}.
(b) Para a viga T não invertida, obtém-se o mesmo valor em módulo: M_{\max}=198{,}0\\ \text{kN\cdotm}.

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