10- Explique como é possível através da difração de Raios-X, determinar a densidade e o raio de um metal com estrutura cúbica.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como, a partir de um experimento de difração de raios‑X, podemos determinar (1) a densidade e (2) o raio atômico de um metal que possui estrutura cúbica.
Informações que normalmente temos do experimento e que vamos usar (assuma que você as consegue do experimento ou da folha de dados da amostra): (comprimento de onda dos raios‑X usados), as posições dos picos de difração (os valores de
para vários picos), a massa molar do metal
(molar mass), e a constante de Avogadro
. Também é necessário saber (ou determinar a partir do padrão de difração) qual variante cúbica é a do metal: cúbica simples (SC), cúbica de corpo centrado (BCC) ou cúbica de faces centradas (FCC).
Informações que normalmente temos do experimento e que vamos usar (assuma que você as consegue do experimento ou da folha de dados da amostra):
Passo 2
Princípio básico — Lei de Bragg. Quando feixes de raios‑X incidem em planos cristalinos paralelos, há interferência construtiva sempre que as ondas refletidas satisfazem a condição de Bragg:
Expliquei cada símbolo:
é a ordem da reflexão (inteiro, normalmente
para o pico principal),
é o comprimento de onda dos raios‑X,
é o espaçamento entre planos cristalinos que geraram o pico, e
é o ângulo de incidência (metade do ângulo exibido pelo difratômetro, ou seja
). Na prática medimos
e calculamos
.
Passo 3
Fórmula do espaçamento interplanar para rede cúbica. Para uma rede cúbica com parâmetro de rede
, o espaçamento entre os planos indicados pelos índices de Miller
é
Aqui
são inteiros (índices de Miller) que identificam o conjunto de planos que produziram o pico. Essa fórmula é um resultado geométrico: os planos
cortam a célula cúbica de modo que a distância entre planos sucessivos é proporcional a
e inversamente proporcional à raiz dos quadrados dos índices.
Passo 4
Combinar Bragg com a fórmula de
para obter
. Substituindo
em Bragg e isolando
temos
ou, resolvendo para
,
Na prática normalmente
. Isso quer dizer: para cada pico com índices
que você conseguir identificar, você pode calcular um valor de
. Faz‑se isso para vários picos e tira‑se a média para melhorar precisão.
Passo 5
Como indexar os picos (como determinar
para cada pico) — método prático e seleção da estrutura cúbica.
- Meça vários picos e calcule
para cada pico (usar ). - Divida todas as
pelo menor valor obtido; os quocientes serão aproximadamente números proporcionais a . Isso porque de Bragg e da fórmula de segue que
- Compare os quocientes com as sequências possíveis de
para redes cúbicas. Sequências típicas (valores de ):
- Para SC (todas as reflexões permitidas):
(correspondendo a ). - Para BCC (apenas reflexões com
par): (correspondendo a ). - Para FCC (apenas reflexões com
todos pares ou todos ímpares): (correspondendo a ).
Essas restrições são chamadas de regras de seleção, e resultam do fator de estrutura da célula unitária (interferência entre átomos dentro da célula). Utilizando essas sequências você consegue (i) deduzir se a rede é SC, BCC ou FCC (comparando quais números aparecem na sequência de quocientes) e (ii) atribuir para cada pico o triplo
.
Passo 6
Cálculo prático do parâmetro de rede
. Depois de ter atribuído
a um pico e medido
e sabendo
, calcule
por
(assumindo
). Faça isso para vários picos e compute a média das
calculadas; isso reduz erro experimental.
Passo 7
Como calcular a densidade macroscópica
a partir de
. Considere a célula unitária cúbica de volume
. Seja
o número de átomos efetivos por célula unitária:
para SC,
para BCC,
para FCC. A massa por célula é
vezes a massa de um átomo. Para massa molar
(massa por mol) e
avogadro, a massa de um átomo é
. Assim a densidade é
Expliquei os símbolos:
é densidade (usar unidades consistentes: por exemplo,
em
,
em
dá
em
). Se
estiver em
e
em
, converta apropriadamente para obter
em
.
Passo 8
Como obter o raio atômico
a partir do parâmetro de rede
— relações geométricas para as três estruturas cúbicas:
- Cúbica simples (SC): átomos tocam ao longo da aresta, logo
- Cúbica de corpo centrado (BCC): átomos tocam ao longo da diagonal do corpo; a diagonal do cubo vale
e nela cabem , portanto
- Cúbica de faces centradas (FCC): átomos tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face vale
e nela cabem , portanto
Essas são relações geométricas fáceis de derivar desenhando a célula cúbica e vendo como os centros dos átomos se tocam.
Passo 9
Sequência prática passo‑a‑passo que você pode usar na prova (resumão amigo):
- Meça
para vários picos e calcule . - Calcule
para cada pico e normalize pelo menor valor. - Compare os quocientes com as sequências de
para SC/BCC/FCC e use as regras de seleção (somatório par, todos pares/ímpares, etc.) para identificar a estrutura e atribuir . - Para cada pico com
calcule por e faça a média. - Calcule a densidade por
, escolhendo ou conforme a estrutura. Lembre‑se de usar unidades consistentes. - Calcule o raio por uma das fórmulas geométricas do Passo 8.
Dica prática final: em difração de pó (XRD) as intensidades relativas dos picos ajudam na identificação (picos fortes e fracos) e as ausências sistemáticas ajudam a distinguir BCC de FCC. Faça várias medidas e use várias linhas para reduzir erro experimental.