(10 pontos) Use derivação termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
9/((1-9*x)^(2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências para a expressão usando derivação termo a termo. Isso significa que vamos usar conceitos de séries geométricas e derivadas para chegar na resposta. Vamos precisar saber como funciona a série geométrica básica e como diferenciá-la termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é:
Essa série é conhecida e serve como ponto de partida. No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 3

Agora, para chegar em , vamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a . A derivada da esquerda é:
No lado direito, a derivada termo a termo fica:
Então temos:

Passo 4

Para facilitar, vamos ajustar a série para que as potências de fiquem com expoente em vez de . Fazemos uma mudança de índice, deixando . Assim, substituímos por :
Como começa em , mas para o termo é zero, a série efetivamente começa em :

Resposta

Portanto, a série de potências para é:

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