[10 Pts] Controladores do tipo Proporcional-Integral (PI) são comumente utilizados em estratégias de controle de velocidade de motores de corrente contínua.
A equação característica de um controladores PI é descrita por
onde
é o sinal de erro de entrada e
é o sinal de saída a ser aplicado ao sistema a ser controlado.
(a) Utilizado resistores, capacitores e, no máximo, dois amplificadores operacionais, construa um circuito capaz de descrever o comportamento de um controlador PI.
(b) Determine os parâmetros
e
, em função dos resistores e capacitores utilizados no item anterior.
A equação característica de um controladores PI é descrita por
(a) Utilizado resistores, capacitores e, no máximo, dois amplificadores operacionais, construa um circuito capaz de descrever o comportamento de um controlador PI.
(b) Determine os parâmetros
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado dá a lei do controlador PI:
- Pedidos:
(a) projetar um circuito usando resistores, capacitores e no máximo dois amplificadores operacionais que implemente esse comportamento;
(b) expressare em função dos resistores e capacitores usados.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma fórmula básica de amplificador operacional em configuração inversora (coisa que se aprende no laboratório): se a resistência de entrada é
(entre sinal de entrada e o nodo inversor) e a impedância de realimentação é
(entre saída e nodo inversor), com o terminal não inversor aterrado, a função de transferência (no domínio de Laplace) é
Aqui
é a impedância complexa que pode depender de
(por ex. incluir um capacitor). Essa fórmula vem da regra de que a corrente que entra pela resistência de entrada deve sair pela impedância de realimentação (somando correntes no nodo virtual), assumindo ganho infinito do op-amp e nodo virtual a potencial zero.
Passo 3
Queremos que a relação entre saída e entrada contenha uma parte proporcional (ganho estático) e uma parte integradora (termo em
). Uma maneira direta de obter isso é escolher a impedância de realimentação como a soma série de um resistor
com um capacitor
, isto é:
Essa escolha é prática: em série o resistor fornece a parte proporcional (resistiva) e o capacitor fornece a parte integradora (impedância
que, no domínio do tempo, corresponde a uma integração com ganho
).
Passo 4
Aplicando a fórmula do amplificador inversor com
e
, obtemos a transferência do primeiro estágio (chamo de
a saída deste estágio):
Separando os termos:
Voltando ao domínio do tempo, isso corresponde a
Ou seja: o primeiro estágio fornece uma combinação em sinal invertido da parte proporcional e da parte integradora.
Passo 5
O enunciado pede
com sinais positivos. O estágio anterior tem sinal invertido (o negativo na frente). Podemos corrigir o sinal com um segundo amplificador operacional configurado como inversor de ganho unitário (buffer inversor): isso é simplesmente um inversor com resistores iguais
(uma inversão de sinal sem alterar os coeficientes numéricos das parcelas).
Se aplicarmos esse inversor de ganho
sobre
, a saída final
será
Passo 6
Agora colocamos em forma exatamente igual ao enunciado. Queremos escrever
Compare termo a termo com a expressão obtida:
Para casar as formas, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente do termo proporcional:
- Coeficiente do termo integral:
Substituindo
na segunda igualdade e isolando
obtemos
Passo 7
Resumo prático do circuito (descrição que responde o item (a) e que serve de montagem na bancada):
- Estágio 1 (PI em configuração inversora):
- Amplificador operacional 1: entrada negativa recebe
através de (chamado ); - realimentação do op-amp 1 é a série
seguido de (do terminal de saída do op-amp 1 ao nodo inversor); - terminal não-inversor do op-amp 1 aterrado.
- Amplificador operacional 1: entrada negativa recebe
- Estágio 2 (inversor unitário para corrigir o sinal):
- Amplificador operacional 2: configurado como inversor de ganho unitário com dois resistores iguais
; - entrada do op-amp 2 é a saída do estágio 1; saída do op-amp 2 é
.
- Amplificador operacional 2: configurado como inversor de ganho unitário com dois resistores iguais
Observações práticas e dicas rápidas (úteis na prova ou no laboratório):
- Para obter ganho não invertido (mesma polaridade de
para ) o segundo inversor é necessário; se a aplicação aceitar sinal invertido, pode-se omitir o segundo op-amp e considerar ganho . - As relações obtidas são simples: aumentar
aumenta e aumenta (mais tempo de integração); aumentar aumenta sem alterar . - Em solução real, recomenda-se colocar um pequeno resistor em série com o capacitor ou usar valores que evitem saturação e ruído de offset excessivo no integrador.
Resposta
(a) Um circuito com dois amplificadores operacionais: primeiro op-amp em configuração inversora com resistência de entrada
e impedância de realimentação formada por
em série com
; segundo op-amp configurado como inversor de ganho unitário (
) para corrigir o sinal, fornecendo
.
(b)