[10 Pts] Controladores do tipo Proporcional-Integral (PI) são comumente utilizados em estratégias de controle de velocidade de motores de corrente contínua.
A equação característica de um controladores PI é descrita por
v_{s}=K_{p}\left(v_{e}+\frac{1}{T_{i}} \int_{0}^{t} v_{e} d t\right)
onde v_{e} é o sinal de erro de entrada e v_{s} é o sinal de saída a ser aplicado ao sistema a ser controlado.
(a) Utilizado resistores, capacitores e, no máximo, dois amplificadores operacionais, construa um circuito capaz de descrever o comportamento de um controlador PI.
(b) Determine os parâmetros K_{p} e T_{i}, em função dos resistores e capacitores utilizados no item anterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado dá a lei do controlador PI:
v_{s}=K_{p}\!\left(v_{e}+\frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t} v_{e}(\tau)\,d\tau\right).
  • Pedidos:
    (a) projetar um circuito usando resistores, capacitores e no máximo dois amplificadores operacionais que implemente esse comportamento;
    (b) expressar K_{p} e T_{i} em função dos resistores e capacitores usados.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma fórmula básica de amplificador operacional em configuração inversora (coisa que se aprende no laboratório): se a resistência de entrada é R_{\text{in}} (entre sinal de entrada e o nodo inversor) e a impedância de realimentação é Z_{f}(s) (entre saída e nodo inversor), com o terminal não inversor aterrado, a função de transferência (no domínio de Laplace) é
\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} = -\frac{Z_{f}(s)}{R_{\text{in}}}.
Aqui Z_{f}(s) é a impedância complexa que pode depender de s (por ex. incluir um capacitor). Essa fórmula vem da regra de que a corrente que entra pela resistência de entrada deve sair pela impedância de realimentação (somando correntes no nodo virtual), assumindo ganho infinito do op-amp e nodo virtual a potencial zero.

Passo 3

Queremos que a relação entre saída e entrada contenha uma parte proporcional (ganho estático) e uma parte integradora (termo em 1/s). Uma maneira direta de obter isso é escolher a impedância de realimentação como a soma série de um resistor R_{f} com um capacitor C, isto é:
Z_{f}(s)=R_{f}+\frac{1}{sC}.
Essa escolha é prática: em série o resistor fornece a parte proporcional (resistiva) e o capacitor fornece a parte integradora (impedância 1/(sC) que, no domínio do tempo, corresponde a uma integração com ganho 1/C).

Passo 4

Aplicando a fórmula do amplificador inversor com R_{\text{in}}=R e Z_{f}(s)=R_{f}+1/(sC), obtemos a transferência do primeiro estágio (chamo de V_{1} a saída deste estágio):
\frac{V_{1}(s)}{V_{e}(s)} = -\frac{R_{f}+\dfrac{1}{sC}}{R}.
Separando os termos:
\frac{V_{1}(s)}{V_{e}(s)} = -\frac{R_{f}}{R} \;-\; \frac{1}{s\,C\,R}.
Voltando ao domínio do tempo, isso corresponde a
v_{1}(t) = -\frac{R_{f}}{R}\,v_{e}(t) \;-\; \frac{1}{R\,C}\int_{0}^{t} v_{e}(\tau)\,d\tau.
Ou seja: o primeiro estágio fornece uma combinação em sinal invertido da parte proporcional e da parte integradora.

Passo 5

O enunciado pede v_{s}=K_{p}\big(v_{e}+\dfrac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}v_{e}\,d t\big) com sinais positivos. O estágio anterior tem sinal invertido (o negativo na frente). Podemos corrigir o sinal com um segundo amplificador operacional configurado como inversor de ganho unitário (buffer inversor): isso é simplesmente um inversor com resistores iguais R_{2}=R_{3} (uma inversão de sinal sem alterar os coeficientes numéricos das parcelas).
Se aplicarmos esse inversor de ganho -1 sobre v_{1}(t), a saída final v_{s}(t) será
v_{s}(t) = -v_{1}(t) = \frac{R_{f}}{R}\,v_{e}(t) \;+\; \frac{1}{R\,C}\int_{0}^{t} v_{e}(\tau)\,d\tau.

Passo 6

Agora colocamos em forma exatamente igual ao enunciado. Queremos escrever
v_{s}(t)=K_{p}\left(v_{e}(t)+\frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}v_{e}(\tau)\,d\tau\right).
Compare termo a termo com a expressão obtida:
v_{s}(t)=\frac{R_{f}}{R}\,v_{e}(t) + \frac{1}{R\,C}\int_{0}^{t} v_{e}(\tau)\,d\tau.
Para casar as formas, igualamos os coeficientes:
  • Coeficiente do termo proporcional:
K_{p} = \frac{R_{f}}{R}.
  • Coeficiente do termo integral:
\frac{K_{p}}{T_{i}} = \frac{1}{R\,C}.
Substituindo K_{p}=R_{f}/R na segunda igualdade e isolando T_{i} obtemos
T_{i} = R_{f}\,C.

Passo 7

Resumo prático do circuito (descrição que responde o item (a) e que serve de montagem na bancada):
  • Estágio 1 (PI em configuração inversora):
    • Amplificador operacional 1: entrada negativa recebe v_{e} através de R (chamado R_{\text{in}});
    • realimentação do op-amp 1 é a série R_{f} seguido de C (do terminal de saída do op-amp 1 ao nodo inversor);
    • terminal não-inversor do op-amp 1 aterrado.
  • Estágio 2 (inversor unitário para corrigir o sinal):
    • Amplificador operacional 2: configurado como inversor de ganho unitário com dois resistores iguais R_{2}=R_{3};
    • entrada do op-amp 2 é a saída do estágio 1; saída do op-amp 2 é v_{s}.
Observações práticas e dicas rápidas (úteis na prova ou no laboratório):
  • Para obter ganho não invertido (mesma polaridade de v_{e} para v_{s}) o segundo inversor é necessário; se a aplicação aceitar sinal invertido, pode-se omitir o segundo op-amp e considerar ganho -K_{p}.
  • As relações obtidas são simples: aumentar R_{f} aumenta K_{p} e aumenta T_{i} (mais tempo de integração); aumentar C aumenta T_{i} sem alterar K_{p}.
  • Em solução real, recomenda-se colocar um pequeno resistor em série com o capacitor ou usar valores que evitem saturação e ruído de offset excessivo no integrador.

Resposta

(a) Um circuito com dois amplificadores operacionais: primeiro op-amp em configuração inversora com resistência de entrada R e impedância de realimentação formada por R_{f} em série com C; segundo op-amp configurado como inversor de ganho unitário ( R_{2}=R_{3}) para corrigir o sinal, fornecendo v_{s}.
(b) \displaystyle K_{p}=\frac{R_{f}}{R}
\displaystyle T_{i}=R_{f}\,C

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