Considere os valores do gap de energia:
  • Ge: 0,67 \mathrm{eV}
  • Si: 1,1 \mathrm{eV}
  • GaAs: 1,43 \mathrm{eV}
Explique:
Por que o germânio é mais sensível à temperatura que o silício

Passo 1

O enunciado dá os valores das lacunas de energia (gap) e pede uma explicação do porquê o germânio é mais sensível à temperatura que o silício. Valores fornecidos:
  • Germânio: \,E_{g}^{\rm Ge}=0,67\\ \mathrm{eV}.
  • Silício: \,E_{g}^{\rm Si}=1,10\\ \mathrm{eV}.
  • Arseniato de gálio (informação extra): \,E_{g}^{\rm GaAs}=1,43\\ \mathrm{eV}.
O que se pede: explicar, com base nesses dados, por que o germânio apresenta maior sensibilidade à temperatura que o silício.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Em semicondutores, a concentração intrínseca de portadores (número de elétrons livres gerados termicamente no material), denotada por \,n_i, depende fortemente da temperatura e do gap energético. Uma forma prática e muito usada é
n_i = C\,T^{3/2}\,\exp\!\left(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\right).
Expliquei cada termo:
  • \,n_i é a concentração intrínseca de elétrons (cm^{-3}, por exemplo).
  • \,C é uma constante que reúne fatores como as densidades efetivas de estados nas bandas de condução e valência; é fraca função de T comparada ao exponencial.
  • \,T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • \,E_g é a lacuna de energia (gap) em elétron-volt ( \mathrm{eV}).
  • \,k_B é a constante de Boltzmann; em unidades de eV/K vale aproximadamente \,k_B = 8,617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • O fator \exp(-E_g/(2k_BT)) representa a dependência exponencial da geração térmica de pares elétron–buraco: quanto maior o gap, mais difícil é gerar portadores por excitação térmica.
  • Interpretação intuitiva: a geração térmica tem um “barreira” energética \,E_g. A probabilidade de um elétron saltar da banda de valência para a banda de condução por agitação térmica cai exponencialmente com \,E_g/(2k_B T). Por isso o gap é o parâmetro determinante.

Passo 3

Comparação numérica das ordens de grandeza em T=300\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente), para ver o efeito prático.
  • Primeiro calculemos \,k_B T em eV:
k_B T \approx 8,617\times10^{-5}\cdot 300 \approx 0,0259\\ \mathrm{eV}.
  • Agora o expoente \dfrac{E_g}{2k_B T} para cada material:
    • Para Ge:
    \dfrac{E_{g}^{\rm Ge}}{2k_B T} = \dfrac{0,67}{2\cdot 0,0259} \approx 12,96.
    • Para Si:
    \dfrac{E_{g}^{\rm Si}}{2k_B T} = \dfrac{1,10}{2\cdot 0,0259} \approx 21,27.
  • A razão entre as concentrações intrínsecas (ignorando a diferença fraca em C e no fator T^{3/2}) é dominada pelo exponencial:
\frac{n_i^{\rm Ge}}{n_i^{\rm Si}} \approx \exp\!\left(-\frac{E_{g}^{\rm Ge}-E_{g}^{\rm Si}}{2k_B T}\right) = \exp\!\left(\frac{1,10-0,67}{2k_B T}\right).
Numérica:
\frac{n_i^{\rm Ge}}{n_i^{\rm Si}} \approx \exp\!\left(\frac{0,43}{0,0518}\right) \approx \exp(8,32)\approx 4,13\times10^{3}.
Interpretação: a concentração intrínseca em germânio a 300\\ \mathrm{K} é da ordem de milhares de vezes maior que em silício, simplesmente porque o gap do Ge é muito menor.

Passo 4

Como uma pequena variação de temperatura muda n_i — análise qualitativa e numérica de sensibilidade.
  • A razão entre n_i em duas temperaturas próximas T e T+\Delta T (com \Delta T pequeno) é aproximadamente
\frac{n_i(T+\Delta T)}{n_i(T)} \approx \left(\frac{T+\Delta T}{T}\right)^{3/2} \exp\!\left(\dfrac{E_g}{2k_B}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T+\Delta T}\Big)\right).
O termo exponencial costuma dominar para semicondutores com gaps de ordem de \sim 1\\ \mathrm{eV}.
  • Tomemos um exemplo prático de variação pequena: \Delta T = 10\\ \mathrm{K} em torno de T=300\\ \mathrm{K}.
    • Aproximação \dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T+\Delta T}\approx \dfrac{\Delta T}{T(T+\Delta T)} \approx \dfrac{10}{300\cdot310}\approx 1,075\times10^{-4}.
    • Calculemos o fator exponencial para cada material:
      • Para Ge: \dfrac{E_g}{2k_B}\approx \dfrac{0,67}{1,7234\times10^{-4}}\approx 3,889\times10^{3}. Multiplicando por 1,075\times10^{-4} S_{\rm Ge}\approx 0,418. Assim
      \frac{n_i^{\rm Ge}(310)}{n_i^{\rm Ge}(300)} \approx e^{0,418}\approx 1,519 \quad(\text{aumento de }\,51,9\%).
      • Para Si: \dfrac{E_g}{2k_B}\approx 6,385\times10^{3}. Multiplicando por 1,075\times10^{-4} S_{\rm Si}\approx 0,687. Assim
      \frac{n_i^{\rm Si}(310)}{n_i^{\rm Si}(300)} \approx e^{0,687}\approx 1,988 \quad(\text{aumento de }\,98,8\%).
  • Observação importante: em termos percentuais relativos, a fração de aumento por kelvin pode ser maior para o silício (a derivada relativa pode ser maior), porque o expoente contém E_g como multiplicador. No entanto, esse percentual é aplicado sobre uma base muito menor em Si.

Passo 5

Comparação em termos absolutos (o que importa para condutividade/resistência prática).
  • Usando apenas os exponenciais (ignorando o mesmo prefactor C T^{3/2} para simplificar a comparação), os valores absolutos em 300\\ \mathrm{K} são, aproximadamente:
    • n_i^{\rm Ge}(300) \propto \exp(-12,96)\approx 2,35\times10^{-6}.
    • n_i^{\rm Si}(300) \propto \exp(-21,27)\approx 5,84\times10^{-10}.
  • Aplicando os fatores de aumento do passo anterior ( T\to T+10\\ \mathrm{K}):
    • A variação absoluta em Ge é aproximadamente
    \Delta n_i^{\rm Ge} \approx 2,35\times10^{-6}\times(1,519-1)\approx 1,22\times10^{-6}.
    • A variação absoluta em Si é aproximadamente
    \Delta n_i^{\rm Si} \approx 5,84\times10^{-10}\times(1,988-1)\approx 5,77\times10^{-10}.
    • A razão entre as variações absolutas é
    \frac{\Delta n_i^{\rm Ge}}{\Delta n_i^{\rm Si}} \approx \frac{1,22\times10^{-6}}{5,77\times10^{-10}} \approx 2,12\times10^{3}.
Interpretação física: apesar de a variação percentual de n_i ser maior para Si neste exemplo, a variação absoluta (o quanto de portadores adicionais aparecem de fato) é milhares de vezes maior em Ge, porque o ponto de partida n_i em Ge já é muito maior. Como a condutividade elétrica de um semicondutor depende diretamente da concentração de portadores (aproximadamente \sigma \propto n para condutividade intrínseca, descontando mobilidade), o efeito prático sobre resistência/condutividade é muito mais pronunciado em germânio à mesma mudança de temperatura.

Passo 6

Conclusão física e resposta prática, em linguagem direta e amistosa:
  • O germânio tem gap menor ( E_g^{\rm Ge}=0,67\\ \mathrm{eV}) que o silício ( E_g^{\rm Si}=1,10\\ \mathrm{eV}). Isso faz com que, à temperatura ambiente, o número de portadores gerados termicamente em Ge seja muito maior (ordens de grandeza) do que em Si.
  • Pequenas variações de temperatura produzem uma variação absoluta de portadores muito maior em Ge do que em Si. Na prática isso significa que propriedades elétricas como resistência e corrente mudam muito mais em Ge quando a temperatura varia — por isso diz‑se que Ge é mais sensível à temperatura.
  • Em resumo: gap menor → geração térmica muito maior → grandes variações absolutas de portadores e de condutividade com T. Isso é o mecanismo físico da maior sensibilidade térmica do germânio.
Força aí — é um raciocínio exponencial: pequenas diferenças no gap viram grandes diferenças no mundo real.

Resposta

Porque \,E_{g}^{\rm Ge}=0,67\\ \mathrm{eV} é muito menor que \,E_{g}^{\rm Si}=1,10\\ \mathrm{eV}, a concentração intrínseca de portadores em Ge é milhares de vezes maior à mesma temperatura e uma pequena variação de T gera uma variação absoluta de portadores (e, portanto, de condutividade) muito maior em Ge; por isso o germânio é mais sensível à temperatura que o silício.

Exercícios relacionados