10 Resolver o problema eletrostático da junção metal-semicondutor, quando a densidade de carga linear que ser forma devido ao contato é dada por:
rho=cc -C de
supondo que o metal é a região definida por x <= 0 e o semicondutor tipo N está colocado na região z>0, A é a área da superfície de contato, nd é a densidade volumétrica de impurezas doadoras no semicondutor e d o tamanho da camada de depleção. Determinar a constante C para neutralidade de cargas, bem como a distribuição de potencial, o campo elétrico e a largura da camada de depleção se adicional ao campo interno há uma diferença de potencial aplicada entre o metal e o semicondutor.

Passo 1

O problema descreve uma junção metal–semicondutor unidimensional em que surge uma densidade de carga linear ρ(x) dada por
rho(x)=-C,de
onde o metal ocupa x\le0, o semicondutor tipo N fica em 0<x<d, A é a área de contato, n_{d} a densidade volumétrica de dopantes e d a largura da região de depleção. Vamos usar eletrostática (equação de Poisson) e a condição de neutralidade de cargas.

Passo 2

Para achar C usamos neutralidade global de carga. Integrando ρ(x) em toda a região:
integral-infty^+inftyrho(x),dx=-C+e,nd,A,d=0
Logo,
C=e,nd,A,d]

Passo 3

No metal (x<0) não há campo interno (carga livre se redistribui), logo
E(x<0)=0,varphi(x<0)=constante

Passo 4

Na região de depleção (0<x<d) aplicamos a equação de Poisson em 1D:
d^2varphidx^2=-rhovarepsilons=-e,ndvarepsilons
Integramos uma vez usando E(x)=-dϕ/dx:
E(x)=e,ndvarepsilons(x-d)

Passo 5

Integramos de novo para obter o potencial, impondo E(d)=0 como condição em x=d:
varphi(x)-varphi(d)=integrald^x-E(x'),dx'=e,nd2,varepsilons(x-d)^2

Passo 6

A queda de potencial na depleção é
Vdep=varphi(0)-varphi(d)=e,nd,d^22,varepsilons
Se houver uma tensão aplicada V_{app} além do potencial de contato V_{bi}, temos V_{dep}=V_{bi}+V_{app}, de onde
d=raiz2,varepsilons(Vbi+Vapp)e,nd

Resposta

C=e n_{d} A d
Regiões:
  • x<0: E=0, φ=const
  • 0<x<d:
    E(x)=\frac{e n_{d}}{\varepsilon_{s}}(x-d)
    φ(x)=φ(d)+\frac{e n_{d}}{2\varepsilon_{s}}(x-d)^{2}
Largura de depleção:
d=raiz2,varepsilons(Vbi+Vapp)e,nd

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