11.46 Se cada centímetro quadrado de um diagrama de torque representa 700 j de trabalho, a área entre os pontos de \omega_{M} e \omega_{m} é 8 \mathrm{~cm}^{2}, a velocidade do motor é 3500 rpm e a flutuação máxima permissível de velocidade no ciclo do motor é 35 rpm , determine: (a) o momento de inércia de um volante de aço tipo disco.

Passo 1

O enunciado dá o diagrama de torque versus velocidade com área entre \omega_{M} e \omega_{m} igual a 8\\ \mathrm{cm}^2, sendo que cada centímetro quadrado representa 700 J de trabalho. A velocidade média do motor é 3500 rpm e a flutuação máxima permissível no ciclo é 35 rpm. Queremos projetar um volante de inércia (disco de aço) que armazene a energia necessária para limitar essa flutuação, isto é, determinar o momento de inércia I.

Passo 2

Calcular a energia armazenada \Delta E correspondente à área do diagrama:
\Delta E = \bigl(8\\ \mathrm{cm}^2\bigr)\times\bigl(700\\ \mathrm{J/cm}^2\bigr) = 5600\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Relacionar a variação de energia de rotação com o momento de inércia. Para um volante,
E = \tfrac12 I\omega^2,
logo a diferença entre os pontos de máxima e mínima velocidade é
\Delta E = E_{\max}-E_{\min} = \tfrac12 I\bigl(\omega_{\max}^2-\omega_{\min}^2\bigr).
Como a flutuação é pequena e a curva é simétrica em torno de \omega_0, pode-se usar a forma simplificada
\Delta E = I\,\omega_0\,\Delta\omega,
onde
\omega_0 = \frac{2\pi\,n_0}{60},\quad \Delta\omega = \frac{2\pi\,\Delta n}{60},
com n_0=3500 rpm e \Delta n=35 rpm.

Passo 4

Substituindo os valores:
\omega_0 = \frac{2\pi\times3500}{60}\approx366{,}52\\ \mathrm{rad/s},\qquad \Delta\omega = \frac{2\pi\times35}{60}\approx3{,}665\\ \mathrm{rad/s},
I = \frac{\Delta E}{\omega_0\,\Delta\omega} = \frac{5600}{366{,}52\times3{,}665} \approx4{,}17\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Resposta

O momento de inércia necessário para o volante-disco de aço é
I \approx 4{,}17\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

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