11.54 Uma came de disco girando a 200 rpm , dá a um seguidor radial de rolo um deslocamento máximo de 6,25 \mathrm{~cm} \mathrm{em} movimento harmônico simples, enquanto a came gira 90^{\circ}. Há então um repouso do seguidor para 180^{\circ} de rotação da came, seguido por um retorno em movimento harmônico simples nos 90^{\circ} restantes da rotação da came. Para um peso do seguidor de 40 N , determine sua força de inércia para cada 15^{\circ} de rotação da came e plote os resultados. Determine e plote a força resultante do peso e da força de inércia. Determine a constante de uma mola que mantenha contato do seguidor com a came durante a rotação desta.

Passo 1

O enunciado descreve uma came de disco girando a N=200 rpm que impõe a um seguidor radial de rolo um movimento harmônico simples (MHS) de subida de altura h=6{,}25 cm durante 90^\circ de rotação da came, segue um repouso (dwell) de 180^\circ e depois um retorno em MHS nos 90^\circ finais. O peso do seguidor é W=40 N. Precisamos calcular a força de inércia para cada 15^\circ de rotação, traçar seu gráfico, obter a força resultante (peso + inércia) e determinar a constante de mola que mantém o seguidor em contato com a came.

Passo 2

Transformamos a rotação em velocidade angular:
\Omega = 2\pi\frac{N}{60} = 2\pi\frac{200}{60} \approx 20{,}94\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Durante as fases de MHS (subida de 0 a \pi/2 e retorno de 3\pi/2 a 2\pi rad), a lei do movimento é
s(\theta)=\frac{h}{2}\bigl[1-\cos(2\theta)\bigr],
onde \theta é o ângulo da came em rad (de 0 a 2\pi). A aceleração é
a(\theta)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2} =2\,h\,\Omega^2\cos(2\theta).
No dwell \pi/2<\theta<3\pi/2 temos a=0. A massa do seguidor é
m=\frac{W}{g}=\frac{40}{9{,}81}\approx4{,}08\\ \text{kg}.

Passo 4

A força de inércia é F_i=m\,a. Logo, nos trechos de MHS
F_i(\theta)=2\,m\,h\,\Omega^2\cos(2\theta),
e no dwell F_i=0. Calculamos o valor máximo
F_{i,\max}=2\,m\,h\,\Omega^2 =2\cdot4{,}08\cdot0{,}0625\cdot(20{,}94)^2\approx223{,}6\\ \text{N}.

Passo 5

Avaliação de F_i a cada 15^\circ \theta=0,15^\circ,\dots,360^\circ, tomando \theta em graus e usando \cos(2\theta):
\begin{array}{c|r} \theta&F_i\\ (\text{N})\\hline 0^\circ&+223{,}6\\\\ 15^\circ&+193{,}6\\\\ 30^\circ&+111{,}8\\\\ 45^\circ&0\\\\ 60^\circ&-111{,}8\\\\ 75^\circ&-193{,}6\\\\ 90^\circ&-223{,}6\\\\ 105^\circ\text{ a }255^\circ&0\quad(\text{dwell})\\\\ 270^\circ&-223{,}6\\\\ 285^\circ&-193{,}6\\\\ 300^\circ&-111{,}8\\\\ 315^\circ&0\\\\ 330^\circ&+111{,}8\\\\ 345^\circ&+193{,}6\\\\ 360^\circ&+223{,}6 \end{array}
(Em returno de 270^\circ a 360^\circ aplica-se a mesma fórmula de MHS.)

Passo 6

A força resultante no seguidor é a soma do peso e da força inercial fictícia (que se opõe à aceleração), ou seja
F_R(\theta)=W - F_i(\theta).
Bastam inserir os valores de F_i da tabela no cálculo
\begin{array}{c|r} \theta&F_R\\ (\text{N})\\hline 0^\circ&40 - 223{,}6 = -183{,}6\\\\ 15^\circ&40 - 193{,}6 = -153{,}6\\\\ 30^\circ&40 - 111{,}8 = -71{,}8\\\\ 45^\circ&40 - 0 = 40\\\\ 60^\circ&40 -(-111{,}8)=151{,}8\\\\ 75^\circ&40 -(-193{,}6)=233{,}6\\\\ 90^\circ&40 -(-223{,}6)=263{,}6\\\ \text{dwell}&40\\\\ 270^\circ&263{,}6\\\\ 285^\circ&233{,}6\\\\ 300^\circ&151{,}8\\\\ 315^\circ&40\\\\ 330^\circ&-71{,}8\\\\ 345^\circ&-153{,}6\\\\ 360^\circ&-183{,}6 \end{array}
Esses valores podem ser graficados contra \theta.

Passo 7

Para a mola manter contato mesmo no pico de aceleração, sua força máxima k\,h deve suprir a diferença m\,a_{\max}-W. Assim
k=\frac{F_{i,\max}-W}{h} =\frac{223{,}6-40}{0{,}0625}\approx2\,937{,}6\\ \text{N/m}.

Resposta

Força de inércia F_i e força resultante F_R conforme tabelas acima.
Constante mínima da mola k\approx2\,940\\ \text{N/m}.

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