11.55 Um disco tem um seguidor radial de rolo com mola que é erguido 5 cm com movimento harmônico simples. O peso do seguidor com mola é 45 N . Como sua constante de mola é muito baixa, supõe-se que a mola opere uma força constante de 25 N . Determine a velocidade máxima da came de modo que o seguidor não perca o contato.

Passo 1

O enunciado descreve um came que faz um seguidor de rolo subir e descer em movimento harmônico simples com amplitude de A=0,05,m. O seguidor (mais mola) pesa W=45,N e a mola fornece uma força constante de F_s=25,N empurrando o seguidor contra o came. Queremos achar a velocidade angular máxima \omega (e, em seguida, a rotação em rpm) de modo que o seguidor nunca perca contato com o came. Para resolver precisamos usar a segunda lei de Newton \sum F=ma e a expressão da aceleração em MHS a_{\max}=A\,\omega^2, impondo a condição de força de contato não negativa.

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre do seguidor no instante genérico, tomamos para cima como sentido positivo. As forças que atuam são:
  • N, força de contato do came sobre o seguidor (para cima).
  • F_s, força da mola (para cima).
  • W, peso (para baixo).
    A equação de Newton é
N + F_s - W \;=\; m\,a.

Passo 3

A massa do seguidor é
m=\frac{W}{g}=\frac{45}{9,81}\approx4{,}587\text{ kg}.
Queremos manter N\ge0. Da equação acima isolamos
N = m\,a + W - F_s.
Para garantir contato, impomos
m\,a + W - F_s \;\ge\;0.

Passo 4

Como o movimento é harmônico simples, a aceleração varia segundo
a(t)=-A\,\omega^2\sin(\omega t)
e seu valor mínimo (mais negativo) em módulo é -A\,\omega^2. É nesse ponto que N fica menor. Substituindo a=-A\omega^2 na condição de contato:
m\bigl(-A\,\omega^2\bigr)+W - F_s \;\ge\;0 \quad\longrightarrow\quad W - F_s \;\ge\; m\,A\,\omega^2.

Passo 5

Isolando \omega, obtemos
\omega^2 \;\le\;\frac{W - F_s}{m\,A} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{\max} = \sqrt{\frac{W - F_s}{m\,A}}.

Passo 6

Agora substituímos os valores:
W - F_s = 45 - 25 = 20\text{ N},\quad m\,A = \bigl(\tfrac{45}{9,81}\bigr)\cdot0,05\approx0{,}22935\text{ kg\cdotm}.
Logo
\omega_{\max} = \sqrt{\frac{20}{0,22935}} \approx9{,}34\text{ rad/s}.

Passo 7

Convertendo para rotações por minuto (rpm):
n_{\max} = \frac{\omega_{\max}}{2\pi}\,60 \approx\frac{9{,}34}{2\pi}\,60 \approx89{,}3\text{ rpm}.

Resposta

A velocidade angular máxima é
\omega_{\max}\approx9{,}34\text{ rad/s}
que corresponde a
n_{\max}\approx89{,}3\text{ rpm}.

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