11- Qual é a concentração de cada espécie ânion e cátion derivados do soluto numa solução de ácido acético \left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}\right), 0,50 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para o qual K_{a}=1,8 \times 10^{-5} . \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} \leftrightarrow \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COO}^{-}+\mathrm{H}^{+}.

Passo 1

O enunciado dá a solução de ácido acético com concentração inicial \,0,50\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\, e a constante de dissociação ácida \,K_a=1,8\times10^{-5}\,. A reação fornecida é
\mathrm{CH_3COOH}\rightleftharpoons\mathrm{CH_3COO^-}+\mathrm{H^+}.
O que se pede: determinar a concentração de cada espécie iônica derivada do soluto — isto é, as concentrações de \mathrm{CH_3COO^-} e de \mathrm{H^+}. (Vou também fornecer a concentração do ácido não dissociado em equilíbrio, pois é útil e normalmente pedida junto.)
Informações relevantes dadas:
  • Concentração inicial do ácido: \,C_0=0,50\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\,.
  • Constante de acidez: \,K_a=1,8\times10^{-5}\,.
  • Equação de dissociação: \mathrm{CH_3COOH}\rightleftharpoons\mathrm{CH_3COO^-}+\mathrm{H^+}.

Passo 2

Vamos montar uma tabela “ICE” (Initial, Change, Equilibrium) para seguir a evolução das concentrações. Defino x como a concentração de ácido que se dissocia até o equilíbrio; então x será igual a [\mathrm{H^+}] em equilíbrio e também a [\mathrm{CH_3COO^-}] em equilíbrio (porque a estequiometria é 1:1). A tabela:
  • Inicial:
    \,[\mathrm{CH_3COOH}] = C_0 = 0,50\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
    \,[\mathrm{CH_3COO^-}] = 0,
    \,[\mathrm{H^+}] = 0.
  • Variação (dissociação):
    \,[\mathrm{CH_3COOH}] diminui em x: fica C_0 - x.
    \,[\mathrm{CH_3COO^-}] aumenta em x: fica x.
    \,[\mathrm{H^+}] aumenta em x: fica x.
  • Equilíbrio:
    \,[\mathrm{CH_3COOH}] = C_0 - x,
    \,[\mathrm{CH_3COO^-}] = x,
    \,[\mathrm{H^+}] = x.

Passo 3

A constante de acidez K_a é definida pela relação
K_a=\frac{[\mathrm{CH_3COO^-}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{CH_3COOH}]}.
Substituindo as concentrações em equilíbrio em função de x:
K_a=\frac{x\cdot x}{C_0-x}=\frac{x^2}{C_0-x}.
Aqui cada símbolo significa:
  • K_a: constante de dissociação ácida (dada).
  • x: concentração de \mathrm{H^+} (e de \mathrm{CH_3COO^-}) no equilíbrio.
  • C_0: concentração inicial do ácido não ionizado.

Passo 4

Isolando x na expressão anterior obtemos a equação exata
x^2 + K_a x - K_a C_0 = 0.
Essa é uma equação quadrática em x que pode ser resolvida com a fórmula de Bhaskara. Porém, para ácidos fracos geralmente vale a aproximação x\ll C_0. Se essa aproximação for válida, podemos simplificar C_0-x\approx C_0 e obter uma expressão direta e muito usada:
x\approx\sqrt{K_a C_0}.
Explico por que isso funciona: quando a fraca dissociação produz uma fração muito pequena do ácido (isto é, percentagem de dissociação bem menor que 5\%), a perda de ácido inicial é insignificante e o denominador fica praticamente C_0. Mais tarde vamos checar se essa aproximação é numericamente aceitável.

Passo 5

Aplicando a aproximação:
x\approx\sqrt{K_a C_0}=\sqrt{\left(1,8\times10^{-5}\right)\cdot 0,50}.
Calcule passo a passo:
\left(1,8\times10^{-5}\right)\cdot 0,50 = 9,0\times10^{-6},
\sqrt{9,0\times10^{-6}}=3,0\times10^{-3}.
Portanto, pela aproximação inicial,
[\mathrm{H^+}]\approx 3,0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, \qquad [\mathrm{CH_3COO^-}]\approx 3,0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Vamos agora resolver a equação quadrática exata para conferir a precisão da aproximação. A equação é
x^2 + K_a x - K_a C_0 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara (apenas a raiz positiva faz sentido fisicamente):
x=\frac{-K_a+\sqrt{K_a^2+4K_a C_0}}{2}.
Substituindo os números:
K_a^2=(1,8\times10^{-5})^2=3,24\times10^{-10},
4K_a C_0 = 4\cdot(1,8\times10^{-5})\cdot 0,50 = 3,6\times10^{-5},
\sqrt{K_a^2+4K_a C_0}=\sqrt{3,24\times10^{-10}+3,6\times10^{-5}}\approx\sqrt{3,6000324\times10^{-5}}\approx 6,00000\times10^{-3}.
Assim
x=\frac{-1,8\times10^{-5}+6,00000\times10^{-3}}{2}\approx 2,991\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando de forma prática obtemos x\approx 2,99\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Note que isso coincide muito bem com a aproximação 3,0\times10^{-3}.

Passo 7

Agora encontramos as concentrações em equilíbrio:
[\mathrm{H^+}]=x\approx 2,99\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
[\mathrm{CH_3COO^-}]=x\approx 2,99\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
[\mathrm{CH_3COOH}]=C_0-x=0,50-0,00299\approx 0,497\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Verificação da validade da aproximação: fração dissociada =\dfrac{x}{C_0}\approx\dfrac{0,00299}{0,50}=0,00598\approx0,598\%, muito menor que 5\%. Logo a aproximação C_0-x\approx C_0 estava perfeitamente justificada.

Passo 8

Resumo final: as concentrações das espécies derivadas do soluto (íon acetato e próton) são iguais e aproximadamente 3,0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. A concentração do ácido não dissociado permanece praticamente 0,497\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Força! Você já domina a técnica ICE + verificação da aproximação — isso cai bastante em prova.

Resposta

[\mathrm{H^+}]=2,99\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{CH_3COO^-}]=2,99\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{CH_3COOH}]=0,497\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Exercícios relacionados