12.45 Uma tubulação de água a 5^{\circ} \mathrm{C} passa acima da superfície entre dois edifícios. O ar na vizinhança está a 35^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a umidade relativa máxima que o ar pode ter antes que a condensação ocorra sobre a tubulação?

Passo 1

O enunciado diz que uma tubulação tem superfície a 5^\circ\mathrm{C} e o ar vizinho está a 35^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual é a umidade relativa máxima que o ar pode ter antes de ocorrer condensação sobre a tubulação? \n
Informações dadas:
\text{Temperatura da superfície (tubulação)} = 5^\circ\mathrm{C},íçã
\text{Temperatura do ar} = 35^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): a condensação sobre uma superfície ocorre quando o vapor d’água presente no ar atinge saturação na temperatura da superfície — isto é, quando a pressão parcial do vapor no ar (chamarei de e) é igual ou maior que a pressão de saturação do vapor à temperatura da superfície (chamarei de e_s(T_{\text{sup}})). O ponto importante: para não haver condensação precisamos ter e < e_s(T_{\text{sup}}). Portanto a situação limite (umidade relativa máxima antes da condensação) ocorre quando
e = e_s(T_{\text{sup}}).

Passo 3

Definição e relação com umidade relativa (ensinando passo a passo): a umidade relativa \mathrm{RH} é a razão entre a pressão parcial atual do vapor e e a pressão de saturação do vapor à temperatura do ar e_s(T_{\text{ar}}):
\mathrm{RH} = \frac{e}{e_s(T_{\text{ar}})}.
No caso limite sem condensação temos e = e_s(T_{\text{sup}}). Substituindo:
\mathrm{RH}_{\max} = \frac{e_s(T_{\text{sup}})}{e_s(T_{\text{ar}})}.
Essa fórmula é a chave: calcular as pressões de saturação nos dois temperaturas e dividir.

Passo 4

Fórmula prática para calcular e_s(T) (explicando o que é cada coisa): uma expressão simples e precisa para a pressão de saturação sobre água é a fórmula de Magnus (valores em hPa quando T em ^\circ\mathrm{C}):
e_s(T) = 6{,}112\;\exp\!\left(\frac{17{,}62\,T}{243{,}12+T}\right).
Aqui T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}, \exp(\cdot) é a função exponencial e^{(\cdot)}, e o resultado e_s fica em hectoPascal (hPa). Vou usar essa fórmula para T_{\text{sup}}=5^\circ\mathrm{C} e T_{\text{ar}}=35^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular e_s(5^\circ\mathrm{C}) passo a passo:
\frac{17{,}62\cdot 5}{243{,}12+5}=\frac{88{,}10}{248{,}12}\approx 0{,}355058,
\exp(0{,}355058)\approx 1{,}42622,
e_s(5)=6{,}112\cdot 1{,}42622\approx 8{,}72\\ \text{hPa}.

Passo 6

Calcular e_s(35^\circ\mathrm{C}) passo a passo:
\frac{17{,}62\cdot 35}{243{,}12+35}=\frac{616{,}7}{278{,}12}\approx 2{,}2186,
\exp(2{,}2186)\approx 9{,}196,
e_s(35)=6{,}112\cdot 9{,}196\approx 56{,}25\\ \text{hPa}.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do Passo 3:
\mathrm{RH}_{\max}=\frac{e_s(5^\circ\mathrm{C})}{e_s(35^\circ\mathrm{C})} =\frac{8{,}72}{56{,}25}\approx 0{,}15499.
Convertendo para porcentagem:
\mathrm{RH}_{\max}\approx 15{,}5\%.
Interpretação rápida: se a umidade relativa do ar for maior que aproximadamente 15{,}5\%, o ponto de orvalho do ar será maior que 5^\circ\mathrm{C} e haverá condensação sobre a tubulação a 5^\circ\mathrm{C}. Se for menor, não ocorre condensação.

Resposta

15{,}5\%

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