12.48 Um grande cômodo contém ar úmido a 30^{\circ} \mathrm{C} e 102 kPa . A pressão parcial do vapor d’água é de 1,5 \mathrm{kPa}. Determine
(a) a umidade relativa.
(b) a razão de mistura, em kg (vapor) por kg (ar seco).
(c) a temperatura de ponto de orvalho, \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}.
(d) a massa de ar seco, em kg, se a massa de vapor d’água for de 10 kg .

Passo 1

O enunciado dá as condições do ar no cômodo e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • Temperatura do ar: T=30^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão total do espaço: P=102\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão parcial do vapor d’água: P_v=1,5\\ \mathrm{kPa}.
Perguntas do exercício:
(a) Determinar a umidade relativa.
(b) Determinar a razão de mistura (massa de vapor por massa de ar seco), em kg(vapor)/kg(ar seco).
(c) Determinar a temperatura de ponto de orvalho, em ^{\circ}\mathrm{C}.
(d) Determinar a massa de ar seco, em kg, se a massa de vapor d’água for de 10\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

(a) Conceito e fórmula da umidade relativa — aula rápida e prática:
  • Umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial do vapor presente e a pressão de saturação do vapor à mesma temperatura. Em fórmula:
\varphi=\frac{P_v}{P_{sat}(T)}.
  • Aqui P_v é a pressão parcial do vapor (dado: 1,5\\ \mathrm{kPa}) e P_{sat}(T) é a pressão de vapor saturado à temperatura T (é o vapor no equilíbrio líquido-vapor a essa temperatura).
  • Para calcular P_{sat}(T) usamos a fórmula de Magnus (muito usada em meteorologia e engenharia quando temos temperaturas em faixa ambiente). A forma que usamos (em kPa) é:
P_{sat}(T)=0,61078\exp\!\left(\frac{17,27\,T}{T+237,3}\right),
onde T está em ^{\circ}\mathrm{C}. Explico as partes: 0,61078\\ \mathrm{kPa} é uma constante empírica; o exponencial traduz a forte dependência da pressão de saturação com a temperatura.
  • Agora calculamos P_{sat} em T=30^\circ\mathrm{C}. Primeiro montamos o expoente:
\frac{17,27\cdot 30}{30+237,3}=\frac{518,1}{267,3}\approx 1,938.
\exp(1,938)\approx 6,945.
P_{sat}(30^\circ\mathrm{C})\approx 0,61078\times 6,945\approx 4,243\\ \mathrm{kPa}.
  • Portanto a umidade relativa é
\varphi=\frac{1,5}{4,243}\approx 0,3535,
ou seja \varphi\approx 35,4\%.

Passo 3

(b) Definição e dedução prática da razão de mistura w:
  • A razão de mistura w (às vezes chamada razão de massa) é a massa de vapor por massa de ar seco:
w=\frac{m_v}{m_a}.
  • A partir da lei dos gases e das massas molares podemos mostrar a fórmula prática (muito usada em termodinâmica de ar úmido):
w=0,622\;\frac{P_v}{P-P_v}.
Expliquei por que aparece 0,622: é a razão entre as massas molares do vapor d’água e do ar seco, M_v/M_a\approx 18{,}016/28{,}966\approx 0{,}622. A expressão vem de relacionar densidades (ou pressões parciais) de vapor e ar seco pela equação dos gases.
  • Agora aplicamos os números. Primeiro P-P_v=102-1,5=100,5\\ \mathrm{kPa}. Então
w=0{,}622\;\frac{1{,}5}{100{,}5}.
Calcule passo a passo:
\frac{1{,}5}{100{,}5}\approx 0{,}014925,
w\approx 0{,}622\times 0{,}014925\approx 0{,}009277.
  • Em unidades mais amigáveis: w\approx 0{,}00928\\ \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\;seco}, que também é 9{,}28\\ \mathrm{g\;vapor/kg\;ar\;seco}.

Passo 4

(c) Temperatura de ponto de orvalho — conceito e cálculo:
  • O ponto de orvalho T_{dp} é a temperatura à qual o ar deve ser resfriado, à pressão constante, para que o vapor em suspensão comece a condensar; isso significa que, no ponto de orvalho, a pressão de saturação àquela temperatura é igual à pressão parcial do vapor presente:
P_{sat}(T_{dp})=P_v.
  • Assim, para encontrar T_{dp} basta inverter a fórmula de Magnus. A forma inversa prática é
T_{dp}=\frac{237{,}3\;\ln\!\left(\dfrac{P_v}{0{,}61078}\right)}{17{,}27-\ln\!\left(\dfrac{P_v}{0{,}61078}\right)}.
Aqui P_v deve estar em kPa. Eu explico: pegamos P_v, colocamos no lugar de P_{sat} na fórmula de Magnus e resolvemos para T — operação padrão.
  • Substituindo P_v=1{,}5\\ \mathrm{kPa}:
\ln\!\left(\frac{1{,}5}{0{,}61078}\right)=\ln(2{,}4566)\approx 0{,}898.
T_{dp}=\frac{237{,}3\times 0{,}898}{17{,}27-0{,}898}=\frac{213{,}01}{16{,}372}\approx 13{,}01^\circ\mathrm{C}.
  • Assim o ponto de orvalho é T_{dp}\approx 13{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

(d) Massa de ar seco quando a massa de vapor é 10\\ \mathrm{kg}:
  • Usamos a definição de razão de mistura w=\dfrac{m_v}{m_a}. Reorganizando para m_a:
m_a=\frac{m_v}{w}.
  • Já calculamos w\approx 0{,}009277. Substituindo m_v=10\\ \mathrm{kg}:
m_a=\frac{10}{0{,}009277}\approx 1{,}077\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}.
  • Em número redondo: m_a\approx 1077\\ \mathrm{kg} de ar seco.
  • Observação prática e ânimo: é um número grande — faz sentido, porque ar contém normalmente muito pouca massa de vapor comparada com ar seco. Você já foi bem até aqui — continue assim!

Resposta

(a) \varphi\approx 35{,}4\%
(b) w\approx 0{,}00928\\ \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\;seco} (ou 9{,}28\\ \mathrm{g/kg})
(c) T_{dp}\approx 13{,}0^\circ\mathrm{C}
(d) m_a\approx 1077\\ \mathrm{kg}

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