12.49 Para que temperatura, em
, o ar úmido com uma razão de mistura de
(vapor) por kg (ar seco) deve ser resfriado a uma pressão constante de
para que se torne ar úmido saturado?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá:
- Pedido: a temperatura, em graus Celsius, à qual o ar úmido deve ser resfriado (à pressão constante) para que fique saturado.
- Dados fornecidos:
- razão de mistura
kg (vapor) por kg (ar seco); - pressão total
.
- razão de mistura
- Observação: “ficar saturado” significa que a pressão parcial do vapor no ar atinge a pressão de saturação
correspondente à temperatura . Nossa tarefa é achar tal que a pressão parcial do vapor (implicada por e ) seja igual a .
Passo 2
Entendendo a razão de mistura
e a relação com a pressão parcial do vapor:
- Definição: a razão de mistura
é a massa de vapor de água por unidade de massa de ar seco: - Em termos de pressões parciais (pela lei dos gases ideais e relações de massas molares) existe a fórmula padrão muito usada em termodinâmica atmosférica:
onde: -
é a pressão parcial do vapor (Pa), -
é a pressão total do gás (Pa), -
é a razão de massas molares (água/ ar seco).
-
- Explicação rápida do porquê: proporcionalidade entre massas e pressões parciais via
(para mesma temperatura e volume) e ajuste por massas molares dá o fator .
Passo 3
Isolando a pressão parcial de vapor
a partir de
:
- Começamos com
- Multiplicando ambos os lados por
: - Desenvolvendo:
- Agrupando os termos em
: - Portanto:
Passo 4
Calcular numericamente
com os dados fornecidos:
- Substituindo
, e : - Calculando o numerador:
- Calculando o denominador:
- Então
- Convertendo para kPa (porque a fórmula prática de saturação costuma usar kPa):
Passo 5
Relação entre pressão de saturação
e temperatura — escolher uma fórmula prática:
- Uma fórmula empírica amplamente usada e de boa precisão para
(pressão de vapor saturante sobre água, em , em kPa) é a equação de Magnus–Tetens: - Aqui:
-
é a temperatura em , -
é em kPa, - os números
, e são constantes empíricas que dão boa precisão na faixa de temperaturas usuais.
-
- Queremos
tal que . Como calculamos , temos a equação:
Passo 6
Resolver a equação para
passo a passo (uso de logaritmo natural):
- Dividindo ambos os lados por
: - Calculando o quociente:
- Aplicando o logaritmo natural:
- Agora resolvemos a equação linear em
: multiplicando ambos os lados por , - Desenvolvendo o lado direito:
- Calculando
: - Somando os coeficientes:
- Finalmente:
Passo 7
Interpretação e checagem rápida:
- Achamos
. Faz sentido físico: para pressões maiores (aqui ), a pressão parcial necessária para uma dada razão de mistura é maior do que ao nível do mar; contudo a razão de mistura aqui é relativamente pequena ( ), então a temperatura de saturação fica em torno de , valor razoável. - Se quiser, em prova você pode arredondar para
conforme a precisão exigida.