12.49 Para que temperatura, em { }^{\circ} \mathrm{C}, o ar úmido com uma razão de mistura de 5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg} (vapor) por kg (ar seco) deve ser resfriado a uma pressão constante de 2 \mathrm{bar}\left(2 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}\right) para que se torne ar úmido saturado?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá:
  • Pedido: a temperatura, em graus Celsius, à qual o ar úmido deve ser resfriado (à pressão constante) para que fique saturado.
  • Dados fornecidos:
    • razão de mistura w = 5\cdot10^{-3} kg (vapor) por kg (ar seco);
    • pressão total p = 2\\ \mathrm{bar} = 2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Observação: “ficar saturado” significa que a pressão parcial do vapor no ar atinge a pressão de saturação e_s(T) correspondente à temperatura T. Nossa tarefa é achar T tal que a pressão parcial do vapor (implicada por w e p) seja igual a e_s(T).

Passo 2

Entendendo a razão de mistura w e a relação com a pressão parcial do vapor:
  • Definição: a razão de mistura w é a massa de vapor de água por unidade de massa de ar seco: w=\frac{m_{\text{vapor}}}{m_{\text{ar seco}}}.
  • Em termos de pressões parciais (pela lei dos gases ideais e relações de massas molares) existe a fórmula padrão muito usada em termodinâmica atmosférica: w=\varepsilon\,\frac{e}{p-e},onde:
    • e é a pressão parcial do vapor (Pa),
    • p é a pressão total do gás (Pa),
    • \varepsilon é a razão de massas molares \varepsilon=\dfrac{M_{\text{v}}}{M_{\text{a}}}\approx0,622 (água/ ar seco).
  • Explicação rápida do porquê: proporcionalidade entre massas e pressões parciais via m \propto p (para mesma temperatura e volume) e ajuste por massas molares dá o fator \varepsilon.

Passo 3

Isolando a pressão parcial de vapor e a partir de w=\varepsilon\frac{e}{p-e}:
  • Começamos com w=\varepsilon\,\frac{e}{p-e}.
  • Multiplicando ambos os lados por (p-e): w(p-e)=\varepsilon e.
  • Desenvolvendo: w p - w e = \varepsilon e.
  • Agrupando os termos em e: w p = e(\varepsilon + w).
  • Portanto: e=\frac{w\,p}{\varepsilon + w}.

Passo 4

Calcular numericamente e com os dados fornecidos:
  • Substituindo w=5\cdot10^{-3}, p=2\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa} e \varepsilon=0{,}622: e=\frac{(5\cdot10^{-3})\cdot(2\cdot10^{5})}{0{,}622+5\cdot10^{-3}}.
  • Calculando o numerador: (5\cdot10^{-3})\cdot(2\cdot10^{5})=1000\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculando o denominador: 0{,}622+0{,}005=0{,}627.
  • Então e=\frac{1000}{0{,}627}\approx1594{,}9\\ \mathrm{Pa}.
  • Convertendo para kPa (porque a fórmula prática de saturação costuma usar kPa): e\approx1{,}595\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Relação entre pressão de saturação e_s(T) e temperatura — escolher uma fórmula prática:
  • Uma fórmula empírica amplamente usada e de boa precisão para e_s (pressão de vapor saturante sobre água, T em ^\circ\mathrm{C}, e_s em kPa) é a equação de Magnus–Tetens: e_s(T)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right).
  • Aqui:
    • T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
    • e_s(T) é em kPa,
    • os números 0{,}61078, 17{,}27 e 237{,}3 são constantes empíricas que dão boa precisão na faixa de temperaturas usuais.
  • Queremos T tal que e_s(T)=e. Como calculamos e\approx1{,}595\\ \mathrm{kPa}, temos a equação: 1{,}595 = 0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right).

Passo 6

Resolver a equação para T passo a passo (uso de logaritmo natural):
  • Dividindo ambos os lados por 0{,}61078: \exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)=\frac{1{,}595}{0{,}61078}.
  • Calculando o quociente: \frac{1{,}595}{0{,}61078}\approx2{,}612.
  • Aplicando o logaritmo natural: \frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}=\ln(2{,}612)\approx0{,}960.
  • Agora resolvemos a equação linear em T: multiplicando ambos os lados por T+237{,}3, 17{,}27\,T = 0{,}960\,(T+237{,}3).
  • Desenvolvendo o lado direito: 17{,}27\,T = 0{,}960\,T + 0{,}960\cdot237{,}3.
  • Calculando 0{,}960\cdot237{,}3 \approx 227{,}808: 17{,}27\,T - 0{,}960\,T = 227{,}808.
  • Somando os coeficientes: (17{,}27 - 0{,}96)\,T = 16{,}31\,T = 227{,}808.
  • Finalmente: T=\frac{227{,}808}{16{,}31}\approx13{,}97\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • Achamos T\approx13{,}97^\circ\mathrm{C}. Faz sentido físico: para pressões maiores (aqui 2\\ \mathrm{bar}), a pressão parcial necessária para uma dada razão de mistura é maior do que ao nível do mar; contudo a razão de mistura aqui é relativamente pequena ( 5\cdot10^{-3}), então a temperatura de saturação fica em torno de 14^\circ\mathrm{C}, valor razoável.
  • Se quiser, em prova você pode arredondar para 14{,}0^\circ\mathrm{C} conforme a precisão exigida.

Resposta

13{,}97^\circ\mathrm{C}

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