P 12.7-3 Uma carga equilibrada trifásica é alimentada por uma fonte em Y com uma tensão de linha de 220 V rms. A carga absorve uma potência de 1500 W com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine a impedância por fase se a carga estiver ligada em Y.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de linha (linha a linha) da fonte: \;V_{LL,\text{rms}} = 220\\ \text{V}.
    • Potência absorvida total pela carga: \;P_{\text{total}} = 1500\\ \text{W}.
    • Fator de potência da carga: \;\text{pf} = 0,8 (atrasado).
    • A carga está ligada em Y e é equilibrada (mesma impedância em cada fase).
  • O que se pede:
    • Determinar a impedância por fase \;Z_{\varphi} da carga (em forma polar e/ou retangular).

Passo 2

Entender a tensão por fase em ligação Y e escrever a fórmula: em ligação Y equilibrada a tensão de fase (linha-neutro) é
V_{\varphi} = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Aqui \;V_{LL} é a tensão linha a linha (fornecida: \;220\\ \text{V}), e \;V_{\varphi} é a tensão efetiva em cada fase entre o terminal da fase e o neutro. Vamos calcular numericamente:
V_{\varphi} = \frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
Calculando \sqrt{3}\approx 1,732, obtemos
V_{\varphi}\approx 127,02\\ \text{V}.
Explicação curta: isso vem da geometria fasorial das tensões em sistema trifásico equilibrado (as tensões de linha formam um triângulo equilátero cujo lado corresponde a \sqrt{3} vezes a tensão de fase).

Passo 3

Relacionar potência total com a potência por fase e com a corrente de fase. Para carga equilibrada:
P_{\text{total}} = 3 P_{\varphi} = 3 V_{\varphi} I_{\varphi} \cos\varphi,
onde
  • \;P_{\varphi} é a potência real absorvida por cada fase,
  • \;I_{\varphi} é a corrente de linha (igual à corrente de fase na ligação Y),
  • \;\cos\varphi é o fator de potência ( \varphi é o ângulo entre tensão e corrente por fase).
Isolando \;I_{\varphi}:
I_{\varphi} = \frac{P_{\text{total}}}{3 V_{\varphi} \cos\varphi}.
Substituindo os valores: \;P_{\text{total}}=1500\\ \text{W}, \;V_{\varphi}\approx127,02\\ \text{V}, \;\cos\varphi=0,8,
I_{\varphi} \approx \frac{1500}{3\cdot 127,02 \cdot 0,8}.
Calculemos:
3\cdot 127,02 \cdot 0,8 \approx 304,84,
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I_{\varphi} \approx \frac{1500}{304,84} \approx 4,92\\ \text{A}.
Comentário: esse é o valor eficaz da corrente em cada fase.

Passo 4

Obter a magnitude da impedância por fase pela relação básica de Ohm (para valores eficazes):
|Z_{\varphi}| = \frac{V_{\varphi}}{I_{\varphi}}.
Usando \;V_{\varphi}\approx127,02\\ \text{V} e \;I_{\varphi}\approx4,92\\ \text{A},
|Z_{\varphi}| \approx \frac{127,02}{4,92} \approx 25,82\\ \Omega.
Explicação: aqui tratamos cada fase como um circuito monofásico com tensão V_{\varphi}, corrente I_{\varphi} e impedância Z_{\varphi}.

Passo 5

Determinar o ângulo da impedância a partir do fator de potência. Por definição:
\cos\varphi = \text{pf} = 0,8.
Então
\varphi = \operatorname{arccos}(0,8) \approx 36,87^\circ.
Como o fator de potência é atrasado (lagging), a corrente atrasa a tensão, o que indica caráter indutivo da carga. Assim a impedância terá parte imaginária positiva. Em forma polar:
Z_{\varphi} = |Z_{\varphi}|\angle \varphi \approx 25,82\angle 36,87^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Converter para forma retangular (parte real e imaginária). Usamos:
R_{\varphi} = |Z_{\varphi}|\cos\varphi,\qquad X_{\varphi} = |Z_{\varphi}|\sin\varphi.
Sabendo \cos\varphi=0,8 e \sin\varphi=0,6 (pois \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0,64}=0,6),
R_{\varphi}\approx 25,82\cdot 0,8 \approx 20,66\\ \Omega,
X_{\varphi}\approx 25,82\cdot 0,6 \approx 15,49\\ \Omega.
Portanto a impedância por fase em forma retangular é
Z_{\varphi} \approx 20,66 + j\,15,49\\ \Omega,
com j>0 indicando reatância indutiva (condição “atrasado”).

Passo 7

Resumo e interpretação final: cada fase da carga Y equilibrada tem uma impedância com módulo cerca de \;25,82\\ \Omega e ângulo de \;36,87^\circ; em forma retangular, resistência \approx 20,66\\ \Omega e reatância indutiva \approx 15,49\\ \Omega. Você pode aplicar esse raciocínio na prova: calcular V_{\varphi}, obter I_{\varphi} via potência total e pf, depois usar Ohm para achar Z_{\varphi} e decompor em R e X.

Resposta

Z_{\varphi} \approx 20,66 + j\,15,49\\ \Omega
Z_{\varphi} \approx 25,82\angle 36,87^\circ\\ \Omega

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