P 12.7-4 Uma fonte trifásica equilibrada em Y de 600 V está ligada a duas cargas equilibradas em \Delta. A impedância das cargas é 40 / 30^{\circ} \Omega e 50 \angle-60^{\circ} \Omega, repectivamente. Determine a corrente de linha e a potência média total.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Fonte trifásica equilibrada em Y com tensão de linha 600\\ \text{V}.
  • Duas cargas equilibradas, ambas conectadas em \Delta, ligadas aos mesmos terminais da fonte.
  • A impedância por fase da primeira carga é \;Z_1 = 40\angle 30^\circ\\ \Omega.
  • A impedância por fase da segunda carga é \;Z_2 = 50\angle -60^\circ\\ \Omega.
  • Pedidos:
    1. Determinar a corrente de linha (ou seja, a corrente em um condutor de linha da fonte, que será igual para as três fases em módulo por causa do equilíbrio).
    2. Determinar a potência média total (potência ativa total dissipada pelas duas cargas).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Em conexão \Delta, a tensão em cada fase da carga é a tensão de linha da fonte. Então a tensão aplicada a cada impedância da \Delta é \;V_{LL}=600\\ \text{V}. Aqui escolhemos a referência de fase de cada tensão de linha convenientemente (podemos tomar a tensão de uma das linhas como 600\angle 0^\circ, isto não muda as magnitudes finais).
  • Corrente de fase na carga em \Delta: a corrente em cada impedância da \Delta é
I_{\text{fase}}=\frac{V_{LL}}{Z}.
Explicação: Ohm generalizado em fasores: corrente = tensão / impedância. Em \Delta cada fase “vê” a tensão de linha.
  • Relação entre corrente de fase da \Delta e corrente de linha da fonte (uma relação padrão de circuitos trifásicos):
I_{\text{linha}} = \sqrt{3}\,I_{\text{fase}}\angle(-30^\circ)
quando se expressa I_{\text{linha}} em função de I_{\text{fase}} tomado com referência adequada. Intuição: na ligação \Delta a corrente de linha é a soma vetorial de duas correntes de fase defasadas, o que gera o fator \sqrt{3} em módulo e um deslocamento de fase de -30^\circ. (Nas contas abaixo vamos aplicar essa relação fase a fase, cuidando das direções de ângulo.)
  • Potência complexa de uma carga trifásica equilibrada em \Delta: para uma carga por fase Z submetida à tensão de linha V_{LL},
S_{\text{trifásico}}=3\,\frac{V_{LL}^2}{Z^*},á
onde Z^* é o conjugado de Z. Explicação: potência por fase S_{\varphi}=V_{\varphi}I_{\varphi}^*, com I_{\varphi}=V_{\varphi}/Z, logo S_{\varphi}=|V_{\varphi}|^2/Z^* e total 3S_{\varphi}. A potência ativa (média) é P=\Re\{S\}.

Passo 3

Calcular as correntes de fase (nas impedâncias de cada \Delta):
  • Para a primeira carga ( Z_1=40\angle 30^\circ\\ \Omega):
I_{1,\text{fase}}=\frac{V_{LL}}{Z_1}=\frac{600\angle 0^\circ}{40\angle 30^\circ}=15\angle(-30^\circ)\\ \text{A}.
Explicação: a magnitude é 600/40=15 e o ângulo é 0^\circ-30^\circ=-30^\circ.
  • Para a segunda carga ( Z_2=50\angle -60^\circ\\ \Omega):
I_{2,\text{fase}}=\frac{600\angle 0^\circ}{50\angle -60^\circ}=12\angle 60^\circ\\ \text{A}.
Explicação: magnitude 600/50=12 e ângulo 0^\circ-(-60^\circ)=60^\circ.

Passo 4

Converter cada corrente de fase em contribuição de corrente de linha (pela relação da \Delta):
  • Módulos:
|I_{1,\text{linha}}|=\sqrt{3}\cdot 15=15\sqrt{3}\approx 25{,}9808\\ \text{A},
|I_{2,\text{linha}}|=\sqrt{3}\cdot 12=12\sqrt{3}\approx 20{,}7846\\ \text{A}.
  • Ângulos (aplicando deslocamento de -30^\circ à fase correspondente):
I_{1,\text{linha}}=15\sqrt{3}\angle(-30^\circ-30^\circ)=15\sqrt{3}\angle(-60^\circ),
I_{2,\text{linha}}=12\sqrt{3}\angle(60^\circ-30^\circ)=12\sqrt{3}\angle(30^\circ).
Agora escrevemos essas duas contribuições em coordenadas retangulares (para somar vetorialmente). Usando valores numéricos:
I_{1,\text{linha}}=25{,}9808\angle(-60^\circ)=12{,}9904 - j\,22{,}5000\\ \text{A},
I_{2,\text{linha}}=20{,}7846\angle(30^\circ)=18{,}0000 + j\,10{,}3923\\ \text{A}.
(Expliquei: calculei \cos e \sin dos ângulos e multipliquei pelas magnitudes para obter partes real e imaginária.)

Passo 5

Somar as contribuições para obter a corrente de linha total (phasor):
Somando componentes reais e imaginárias:
\Re\{I_{\text{linha}}\}=12{,}9904 + 18{,}0000 = 30{,}9904\\ \text{A},
\Im\{I_{\text{linha}}\}=-22{,}5000 + 10{,}3923 = -12{,}1077\\ \text{A}.
Magnitude e ângulo (forma polar):
|I_{\text{linha}}|=\sqrt{30{,}9904^2 + (-12{,}1077)^2}\approx 33{,}27\\ \text{A},
\angle I_{\text{linha}}=\operatorname{atan2}(-12{,}1077,\;30{,}9904)\approx -21{,}35^\circ.
Portanto a corrente de linha (phasor) é aproximadamente
I_{\text{linha}}\approx 33{,}27\angle(-21{,}35^\circ)\\ \text{A}.

Passo 6

Calcular a potência média (ativa) total somando as potências das duas cargas:
Usamos a fórmula da potência trifásica para cada \Delta:
S_1=3\frac{V_{LL}^2}{Z_1^*},\qquad S_2=3\frac{V_{LL}^2}{Z_2^*}.
  • Para Z_1=40\angle 30^\circ:
S_1=3\frac{600^2}{40\angle -30^\circ}=3\cdot\frac{360000}{40}\angle 30^\circ =27000\angle 30^\circ\\ \text{VA}.
Potência ativa (real) de S_1:
P_1=\Re\{S_1\}=27000\cos 30^\circ=27000\cdot 0{,}866025\approx 23382{,}7\\ \text{W}.
  • Para Z_2=50\angle -60^\circ:
S_2=3\frac{600^2}{50\angle 60^\circ}=3\cdot\frac{360000}{50}\angle(-60^\circ) =21600\angle(-60^\circ)\\ \text{VA}.
Potência ativa de S_2:
P_2=\Re\{S_2\}=21600\cos(-60^\circ)=21600\cdot 0{,}5=10800\\ \text{W}.
  • Potência ativa total:
P_{\text{total}}=P_1+P_2\approx 23382{,}7 + 10800 = 34182{,}7\\ \text{W}\approx 34{,}18\\ \text{kW}.

Resposta

I_{\text{linha}}\approx 33{,}27\angle(-21{,}35^\circ)\\ \text{A}\n
P_{\text{total}}\approx 34182{,}7\\ \text{W}

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