B.7.12 Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte
:
Passo 1
O enunciado nos pede para desenhar o diagrama de Nyquist da função de transferência
O conteúdo principal aqui é resposta em frequência de sistemas de controle. Para isso, vamos parametrizar
, obter
no plano complexo e esboçar sua trajetória conforme
varia de
a
.
Passo 2
Substituímos
. Isso dá
Passo 3
Vamos escrever o denominador em parte real
e imaginária
:
Logo
Daí
Passo 4
Analisamos os extremos de frequência:
- Para
, temos e . Então
O ponto de partida do traço está no semieixo imaginário negativo, longe da origem.
2. Para , domina
e o denominador cresce como
, logo
2. Para
O traço termina no polo de origem, aproximando-se pelo semieixo imaginário positivo.
Passo 5
Encontramos a interseção com o eixo real impondo
. Isso ocorre quando
Despuxado
no real de
:
Portanto, o traço cruza o eixo real em
quando
.
Passo 6
Examinamos o sinal de
:
- Para
, e , logo : o traço fica abaixo do eixo real. - Para
, e , logo : o traço passa para cima do eixo real após o ponto .
Podemos ainda escolher valores-piloto, por exemplo
e
, para anotar a posição aproximada no esboço.
Passo 7
Com essas informações, o esboço qualitativo do diagrama de Nyquist de
é:
— começa em quando
,
— aproxima-se do eixo real vindo de baixo, cruza em para
,
— depois sobe para o semieixo positivo, e termina em quando
.
O sentido do traço é de baixo para cima conforme cresce.
— começa em
— aproxima-se do eixo real vindo de baixo, cruza em
— depois sobe para o semieixo positivo, e termina em
O sentido do traço é de baixo para cima conforme
Resposta
O diagrama de Nyquist de
é um traço que parte de
, cruza o eixo real em
(para
), e retorna ao ponto de origem pelo semieixo imaginário positivo, conforme descrito no esboço acima.