B.7.12 Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte G(s) :
G(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+0,8 s+1\right)}

Passo 1

O enunciado nos pede para desenhar o diagrama de Nyquist da função de transferência
G(s)=\frac{1}{s\bigl(s^{2}+0,8\,s+1\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é resposta em frequência de sistemas de controle. Para isso, vamos parametrizar s=j\omega, obter G(j\omega) no plano complexo e esboçar sua trajetória conforme \omega varia de 0^+ a \infty.

Passo 2

Substituímos s=j\omega. Isso dá
G(j\omega) =\frac{1}{\,j\omega\bigl((j\omega)^2+0,8\,j\omega+1\bigr)} =\frac{1}{\,j\omega\bigl(1-\omega^2+0,8\,j\omega\bigr)}.

Passo 3

Vamos escrever o denominador em parte real a e imaginária b:
a(\omega)=-0,8\,\omega^2, \quad b(\omega)=\omega\bigl(1-\omega^2\bigr).
Logo
G(j\omega) =\frac{1}{a(\omega)+j\,b(\omega)} =\frac{a(\omega)-j\,b(\omega)}{a(\omega)^2+b(\omega)^2}.
Daí
\Re\{G(j\omega)\} =\frac{a(\omega)}{a(\omega)^2+b(\omega)^2}, \quad \Im\{G(j\omega)\} =-\frac{b(\omega)}{a(\omega)^2+b(\omega)^2}.

Passo 4

Analisamos os extremos de frequência:
  1. Para \omega\to0^+, temos a\to0 e b\approx\omega. Então
G(j\omega)\approx\frac{1}{j\,\omega\cdot1} =-\frac{j}{\omega}\to -j\infty.
O ponto de partida do traço está no semieixo imaginário negativo, longe da origem.
2. Para \omega\to\infty, domina (j\omega)^2 e o denominador cresce como -j\,\omega^3, logo
G(j\omega)\approx\frac{1}{-j\,\omega^3} =\frac{j}{\omega^3}\to 0^+\,j.
O traço termina no polo de origem, aproximando-se pelo semieixo imaginário positivo.

Passo 5

Encontramos a interseção com o eixo real impondo \Im\{G(j\omega)\}=0. Isso ocorre quando
b(\omega)=\omega\,(1-\omega^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega=0\\ \text{ou}\\ \omega=1.
Despuxado \omega=1 no real de G:
a(1)=-0,8, \quad a(1)^2+b(1)^2=0,8^2+0^2=0,64,
\Re\{G(j1)\}=\frac{-0,8}{0,64}=-1,25.
Portanto, o traço cruza o eixo real em -1,25+0j quando \omega=1.

Passo 6

Examinamos o sinal de \Im\{G(j\omega)\}=-\tfrac{b(\omega)}{a^2+b^2}:
  • Para 0<\omega<1, 1-\omega^2>0 e b(\omega)>0, logo \Im\{G\}<0: o traço fica abaixo do eixo real.
  • Para \omega>1, 1-\omega^2<0 e b(\omega)<0, logo \Im\{G\}>0: o traço passa para cima do eixo real após o ponto -1,25.
Podemos ainda escolher valores-piloto, por exemplo \omega=0{,}5 e \omega=2, para anotar a posição aproximada no esboço.

Passo 7

Com essas informações, o esboço qualitativo do diagrama de Nyquist de G(s) é:
— começa em -j\infty quando \omega\to0^+,
— aproxima-se do eixo real vindo de baixo, cruza em -1,25+0j para \omega=1,
— depois sobe para o semieixo positivo, e termina em 0+j0^+ quando \omega\to\infty.
O sentido do traço é de baixo para cima conforme \omega cresce.

Resposta

O diagrama de Nyquist de
G(s)=\frac{1}{s(s^2+0,8s+1)}
é um traço que parte de -j\infty, cruza o eixo real em -1,25 (para \omega=1), e retorna ao ponto de origem pelo semieixo imaginário positivo, conforme descrito no esboço acima.

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