B.7.11 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta:
Determine o máximo valor de
para o qual o sistema é estável.
Passo 1
O enunciado dá o laço aberto
e pede o maior valor de
que mantém o sistema de malha fechada estável.
O conteúdo é estabilidade de sistemas com atraso puro, e vamos usar a condição de margem de estabilidade obtida ao encontrar raízes na fronteira imaginária do polinômio característico.
O conteúdo é estabilidade de sistemas com atraso puro, e vamos usar a condição de margem de estabilidade obtida ao encontrar raízes na fronteira imaginária do polinômio característico.
Passo 2
A equação característica da malha fechada é
logo
Passo 3
Na fronteira de estabilidade procuramos raízes puramente imaginárias
. Substituindo em
obtemos
Escrevendo
e separando partes real e imaginária, vem
Passo 4
Da parte real
, como buscamos
, conclui-se
Passo 5
Na parte imaginária
obtemos
Como
implica
, para
escolhemos
. O menor
com isso é
, dando
Passo 6
Esse valor corresponde à primeira instabilidade (os polos tocam o eixo imaginário). Para
todos os polos ficam no semiplano esquerdo, e em
ocorre oscilação sustentada.
Resposta
O máximo valor de
para que o sistema permaneça estável é