B.7.11 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta:
G(s) H(s)=\frac{K e^{-2 s}}{s}
Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável.

Passo 1

O enunciado dá o laço aberto
G(s)H(s)=\frac{K e^{-2s}}{s}
e pede o maior valor de K que mantém o sistema de malha fechada estável.
O conteúdo é estabilidade de sistemas com atraso puro, e vamos usar a condição de margem de estabilidade obtida ao encontrar raízes na fronteira imaginária do polinômio característico.

Passo 2

A equação característica da malha fechada é
1 + G(s)H(s) = 0
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1 + \frac{K e^{-2s}}{s} = 0 \quad\Longrightarrow\quad s + K e^{-2s} = 0.

Passo 3

Na fronteira de estabilidade procuramos raízes puramente imaginárias s = j\omega. Substituindo em s + K e^{-2s}=0 obtemos
j\omega + K e^{-2j\omega} = 0.
Escrevendo e^{-2j\omega}=\cos(2\omega)-j\sin(2\omega) e separando partes real e imaginária, vem
\text{Re:}\quad K\cos(2\omega)=0,
\text{Im:}\quad \omega - K\sin(2\omega)=0.

Passo 4

Da parte real K\cos(2\omega)=0, como buscamos K\neq0, conclui-se
\cos(2\omega)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\omega = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Na parte imaginária \omega - K\sin(2\omega)=0 obtemos
K = \frac{\omega}{\sin(2\omega)}.
Como \cos(2\omega)=0 implica \sin(2\omega)=\pm1, para K>0 escolhemos \sin(2\omega)=+1. O menor \omega>0 com isso é \omega=\pi/4, dando
K = \frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Esse valor corresponde à primeira instabilidade (os polos tocam o eixo imaginário). Para 0<K<\pi/4 todos os polos ficam no semiplano esquerdo, e em K=\pi/4 ocorre oscilação sustentada.

Resposta

O máximo valor de K para que o sistema permaneça estável é
K_{\max} = \frac{\pi}{4}.

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