P 12.7-1 Determine a potência absorvida por uma carga trifásica equilibrada ligada em Y para
\mathbf{V}_{\mathrm{CB}}=208 \angle 15^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms} \text { e } \mathbf{I}_{\mathrm{B}}=3 / 110^{\circ} \mathrm{A} \mathrm{rms}
A sequência de fases da fonte é a b c.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a potência absorvida por uma carga trifásica equilibrada ligada em Y.
Dados fornecidos no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
  • \mathbf{V}_{\mathrm{CB}} = 208 \angle 15^\circ\\ \mathrm{V_{rms}} (tensão de linha entre C e B).
  • \mathbf{I}_{\mathrm{B}} = 3 \angle 110^\circ\\ \mathrm{A_{rms}} (corrente na fase B).
  • Sequência de fases da fonte: a b c.
O que é pedido: a potência absorvida pela carga trifásica equilibrada. (Vou calcular a potência complexa total S, e a potência ativa P — que normalmente é o que se entende por “potência absorvida” — além da reativa Q e da aparente |S|.)

Passo 2

Entendimento essencial (fórmula que vamos usar) — para carga trifásica equilibrada ligada em Y:
cada fase tem mesma impedância e as tensões de fase (tensão fase-neutro) têm mesma magnitude e defasagens de 120^\circ. A potência complexa total é três vezes a potência complexa de uma fase. Logo usamos a fórmula
S_{\text{total}} = 3\,V_{\text{fase}}\;I_{\text{fase}}^{*},
onde:
  • V_{\text{fase}} é a tensão fase-neutro (por exemplo V_{BN} para a fase B), em volts (rms), representada como fasor;
  • I_{\text{fase}} é a corrente de fase (aqui I_B), em ampères (rms);
  • I_{\text{fase}}^{*} é o conjugado complexo de I_{\text{fase}}.
    Explicação curta do porquê: a potência complexa de uma fase é V_{\text{fase}}I_{\text{fase}}^{*}; por simetria (equilíbrio) as três fases somam 3 vezes isso.

Passo 3

Precisamos de V_{BN} (tensão fase-neutro da fase B). O enunciado deu V_{CB}=V_C-V_B (tensão de linha entre C e B). Em sistema equilibrado e com sequência positiva a b c há uma relação entre tensões de linha e tensão de fase. Ao tomar a referência apropriada (derivação curta): para sequência positiva pode demonstrar-se que
V_{BN} = \frac{V_{CB}}{\sqrt{3}}\angle 150^\circ\\ \text{relativo a }V_{CB}.
Ou mais diretamente:
V_{BN} = \frac{V_{CB}}{\sqrt{3}}\angle\bigl(\arg(V_{CB}) + 150^\circ\bigr).
(Isto foi obtido usando as expressões das fases V_a,V_b,V_c e calculando V_{CB}=V_C-V_B; se quiser eu explico essa dedução geométrica das fases com mais detalhe, mas aqui usei o resultado padrão.)

Passo 4

Aplicando o resultado ao dado numérico:
V_{BN}=\frac{208\angle 15^\circ}{\sqrt{3}}\angle 150^\circ = \frac{208}{\sqrt{3}}\angle(15^\circ+150^\circ).
Calculemos magnitude e ângulo:
\frac{208}{\sqrt{3}}\approx 120{,}096\\ \mathrm{V},
15^\circ+150^\circ=165^\circ.
Portanto
V_{BN} \approx 120{,}096\angle 165^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}.

Passo 5

A corrente de fase B foi dada como
I_B = 3\angle 110^\circ\\ \mathrm{A_{rms}}.
Como explicado, a potência por fase é
S_{\text{fase}} = V_{BN}\,I_B^{*}.
O conjugado de I_B é I_B^{*}=3\angle(-110^\circ). Então:
S_{\text{fase}} = (120{,}096\angle 165^\circ)\,(3\angle -110^\circ).
Multiplicando magnitudes e somando ângulos:
|S_{\text{fase}}| = 120{,}096\times 3 = 360{,}288,
\arg(S_{\text{fase}}) = 165^\circ+(-110^\circ)=55^\circ.
Logo
S_{\text{fase}} \approx 360{,}288\angle 55^\circ\\ \mathrm{VA}.

Passo 6

A potência complexa total da carga equilibrada é três vezes a potência de uma fase:
S_{\text{total}} = 3\,S_{\text{fase}} = 3\times 360{,}288\angle 55^\circ =1080{,}864\angle 55^\circ\\ \mathrm{VA}.
Agora extraímos os componentes real (ativa), reativo e aparente:
  • Potência ativa (real):
P = \Re\{S_{\text{total}}\} = |S_{\text{total}}|\cos(55^\circ).
  • Potência reativa:
Q = |S_{\text{total}}|\sin(55^\circ).
  • Potência aparente:
|S_{\text{total}}| = 1080{,}864\\ \mathrm{VA}.

Passo 7

Calcule os valores numéricos (usando \cos 55^\circ \approx 0{,}573576 e \sin 55^\circ \approx 0{,}819152):
P \approx 1080{,}864 \times 0{,}573576 \approx 620{,}0\\ \mathrm{W},
Q \approx 1080{,}864 \times 0{,}819152 \approx 885{,}1\\ \mathrm{VAr}.
Sinal: P>0 e Q>0 indicam que a carga está absorvendo potência ativa e reativa (carga indutiva no sentido convencional).

Resposta

S_{\text{total}} \approx 1080{,}9\angle 55^\circ\\ \mathrm{VA}
P \approx 620{,}0\\ \mathrm{W}
Q \approx 885{,}1\\ \mathrm{VAr}

Exercícios relacionados