P 12.7-3 Uma carga equilibrada trifásica é alimentada por uma fonte em Y com uma tensão de linha de 220 V rms. A carga absorve uma potência de 1500 W com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine a impedância por fase se a carga estiver ligada em \Delta.

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo explicitamente para não sobrar dúvida):
V_{LL}=220\\ \text{V (rms)}
P_{\text{total}}=1500\\ \text{W}
\text{fator de potência}=\text{pf}=0{,}8\\ \text{atrasado}ê
A carga é equilibrada e está ligada em \Delta.
O que se pede: determinar a impedância por fase da carga (ou seja, a impedância de cada ramo do triângulo \Delta).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando com calma):
  • Em um sistema trifásico equilibrado, a potência ativa total pode ser escrita em função das tensões e correntes de fase como
P_{\text{total}}=3\,V_{\varphi}\,I_{\varphi}\cos\varphi,
onde V_{\varphi} é a tensão de fase na carga, I_{\varphi} é a corrente de fase na carga e \varphi é o ângulo entre tensão e corrente (o chamado ângulo de fator de potência). Aqui \cos\varphi=\text{pf}.
  • Para uma carga ligada em \Delta (triângulo), a tensão aplicada a cada fase da carga é igual à tensão de linha:
V_{\varphi}=V_{LL}.
  • A impedância de cada fase é dada por
Z_{\varphi}=\frac{V_{\varphi}}{I_{\varphi}}.
  • O sinal “atrasado” (lagging) indica que a corrente atrasa a tensão, o que corresponde a um comportamento indutivo da carga; portanto a parte imaginária da impedância é positiva ( +jX).
    Vou usar essas relações para obter primeiro I_{\varphi}, depois Z_{\varphi} (magnitude e ângulo) e por fim a forma retangular R+jX.

Passo 3

Calcular a corrente de fase I_{\varphi} a partir da potência:
Partindo de
P_{\text{total}}=3\,V_{\varphi}\,I_{\varphi}\cos\varphi,
isola-se I_{\varphi}:
I_{\varphi}=\frac{P_{\text{total}}}{3\,V_{\varphi}\cos\varphi}.
Substituindo os valores dados (lembre que V_{\varphi}=V_{LL}=220 e \cos\varphi=\text{pf}=0{,}8):
I_{\varphi}=\frac{1500}{3\cdot 220\cdot 0{,}8}.
Calcule o denominador:
3\cdot 220\cdot 0{,}8=660\cdot 0{,}8=528.
Portanto
I_{\varphi}=\frac{1500}{528}=2{,}840909\ldots\\ \text{A}\approx 2{,}8409\\ \text{A}.

Passo 4

Calcular a magnitude da impedância por fase |Z_{\varphi}|:
Usando
|Z_{\varphi}|=\frac{V_{\varphi}}{I_{\varphi}},
temos
|Z_{\varphi}|=\frac{220}{2{,}840909\ldots}=77{,}5\\ \Omega.
(é um número exato com essas entradas: 77{,}5\\ \Omega.)

Passo 5

Determinar o ângulo da impedância (e o sinal devido ao “atrasado”):
  • O fator de potência relaciona-se com o ângulo por
\cos\varphi=\text{pf}=0{,}8\quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8).
Calcule
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)\approx 36{,}8699^\circ\approx 36{,}87^\circ.
Como o fator de potência é atrasado (lagging), a corrente atrasa a tensão e a impedância é indutiva: o ângulo da impedância é positivo. Logo podemos escrever em forma polar
Z_{\varphi}=|Z_{\varphi}|\angle\varphi=77{,}5\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Passar para a forma retangular R + jX (muito útil na prática):
Usamos
R=|Z_{\varphi}|\cos\varphi,\qquad X=|Z_{\varphi}|\sin\varphi.
Como \cos\varphi=0{,}8 e \sin\varphi=\sqrt{1-0{,}8^{2}}=0{,}6,
R=77{,}5\cdot 0{,}8=62{,}0\\ \Omega,
X=77{,}5\cdot 0{,}6=46{,}5\\ \Omega.
Portanto a impedância por fase em forma retangular é
Z_{\varphi}=62{,}0 + j\,46{,}5\\ \Omega,
com jX positivo devido ao comportamento indutivo (pf atrasado). Como checagem rápida, a magnitude fica \sqrt{62{,}0^{2}+46{,}5^{2}}\approx 77{,}5\\ \Omega, consistente com o valor anterior.

Resposta

Z_{\varphi}=77{,}5\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega
Z_{\varphi}=62{,}0 + j\,46{,}5\\ \Omega

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