[12] Escreva cada um dos seguintes conjuntos de equações em forma matricial. Resolva as equações após obter as matrizes inversas necessárias (se existirem). Se não houver uma inversa, explique o porquê.
3 x+4 y-2 z=4
-3 x+4 y=2
x+7 z=-8
-2 x-3 y-8 z=-11
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever o conjunto de equações em forma matricial e (2) resolver o sistema usando inversas das matrizes se existirem — caso não exista inversa, explicar o porquê. As equações dadas são:
3x+4y-2z=4
-3x+4y=2
x+7z=-8
-2x-3y-8z=-11
Informações relevantes dadas: são quatro equações lineares envolvendo as três incógnitas x,y,z. O conjunto forma um sistema linear sobredeterminado (mais equações que incógnitas).
Passo 2
Escrever em forma matricial significa colocar o sistema na forma \,A\mathbf{u}=\mathbf{b}\,, onde \,A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{u} o vetor das incógnitas e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes. Aqui:
Breve explicação sobre inversa: para usarmos \mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b} precisamos que A tenha inversa A^{-1}. Isso só é possível quando A é uma matriz quadrada n\times n e de posto máximo (posto n). Aqui \,A é uma matriz 4\times 3 (não é quadrada), portanto não possui inversa no sentido usual. Logo não podemos resolver o sistema simplesmente calculando A^{-1}. (Observação útil: para problemas com matriz não quadrada pode-se buscar soluções de mínimos quadrados usando (A^{T}A)^{-1}A^{T} quando A^{T}A for invertível, mas aqui o pedido é resolver o sistema original.)
Passo 4
Como A não é invertível (não é quadrada), vamos tentar resolver o sistema por eliminação (método mais básico e direto). Escrevemos a matriz aumentada [A|\mathbf{b}]:
Vou aplicar redução por linhas (eliminação de Gauss) de forma explícita e didática. Cada operação do tipo R_i\leftarrow R_i + \alpha R_j será indicada.]
Passo 5
Primeiro, para evitar frações iniciais, trocamos a primeira linha pela terceira (colocamos a linha com coeficiente 1 em x como pivô):
As duas linhas exigem valores diferentes para z: z=-\tfrac{25}{22} e z=\tfrac{8}{15}. Portanto há contradição — não existe um único valor de z que satisfaça ambas as equações derivadas das filas do sistema.]
Passo 6
Conclusão lógica da eliminação: chegamos a duas equações incompatíveis (duas linhas reduzidas que implicam valores distintos para z). Isso significa que o sistema original é inconsistente — não existe vetor \mathbf{u}=(x,y,z)^T que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Em termos da matriz aumentada, a redução produz uma linha do tipo
(0,0,0 \mid c)
com c\neq 0 (equivalente à contradição 0=c), sinalizando que o sistema não tem solução. Também reforçando: como A não é quadrada, não há inversa A^{-1} para aplicar; mesmo que tentássemos outro método direto, a inconsistência aparece na eliminação.
Resposta
O sistema é inconsistente; não existe solução (não há vetor (x,y,z) que satisfaça todas as quatro equações).