[12] Escreva cada um dos seguintes conjuntos de equações em forma matricial. Resolva as equações após obter as matrizes inversas necessárias (se existirem). Se não houver uma inversa, explique o porquê.
3 x+4 y-2 z=4
-3 x+4 y=2
x+7 z=-8
-2 x-3 y-8 z=-11

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever o conjunto de equações em forma matricial e (2) resolver o sistema usando inversas das matrizes se existirem — caso não exista inversa, explicar o porquê. As equações dadas são:
3x+4y-2z=4
-3x+4y=2
x+7z=-8
-2x-3y-8z=-11
Informações relevantes dadas: são quatro equações lineares envolvendo as três incógnitas x,y,z. O conjunto forma um sistema linear sobredeterminado (mais equações que incógnitas).

Passo 2

Escrever em forma matricial significa colocar o sistema na forma \,A\mathbf{u}=\mathbf{b}\,, onde \,A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{u} o vetor das incógnitas e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes. Aqui:
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -2\\[4pt] -3 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 7\\[4pt] -2 & -3 & -8 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]-8\\[4pt]-11\end{pmatrix}.
Então o sistema é
A\mathbf{u}=\mathbf{b}.]

Passo 3

Breve explicação sobre inversa: para usarmos \mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b} precisamos que A tenha inversa A^{-1}. Isso só é possível quando A é uma matriz quadrada n\times n e de posto máximo (posto n). Aqui \,A é uma matriz 4\times 3 (não é quadrada), portanto não possui inversa no sentido usual. Logo não podemos resolver o sistema simplesmente calculando A^{-1}. (Observação útil: para problemas com matriz não quadrada pode-se buscar soluções de mínimos quadrados usando (A^{T}A)^{-1}A^{T} quando A^{T}A for invertível, mas aqui o pedido é resolver o sistema original.)

Passo 4

Como A não é invertível (não é quadrada), vamos tentar resolver o sistema por eliminação (método mais básico e direto). Escrevemos a matriz aumentada [A|\mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & -2 & 4\\[4pt] -3 & 4 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 7 & -8\\[4pt] -2 & -3 & -8 & -11 \end{array}\right].
Vou aplicar redução por linhas (eliminação de Gauss) de forma explícita e didática. Cada operação do tipo R_i\leftarrow R_i + \alpha R_j será indicada.]

Passo 5

Primeiro, para evitar frações iniciais, trocamos a primeira linha pela terceira (colocamos a linha com coeficiente 1 em x como pivô):
R_1\leftrightarrow R_3: \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & -8\\[4pt] 3 & 4 & -2 & 4\\[4pt] -3 & 4 & 0 & 2\\[4pt] -2 & -3 & -8 & -11 \end{array}\right].
Eliminamos a primeira coluna (coeficiente de x) nas linhas 2, 3 e 4 usando R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2: \\ (3,4,-2,4) -3(1,0,7,-8) = (0,4,-23,28).
  • R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1:
R_3: \\ (-3,4,0,2) +3(1,0,7,-8) = (0,4,21,-22).
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1:
R_4: \\ (-2,-3,-8,-11) +2(1,0,7,-8) = (0,-3,6,-27).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & -8\\[4pt] 0 & 4 & -23 & 28\\[4pt] 0 & 4 & 21 & -22\\[4pt] 0 & -3 & 6 & -27 \end{array}\right].
Agora usamos a segunda linha como pivô para eliminar a coluna de y nas linhas 3 e 4.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3: \\ (0,4,21,-22) - (0,4,-23,28) = (0,0,44,-50).
  • Para R_4 (tem -3 em y), fazemos R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{3}{4}R_2 para zerar a segunda posição:
R_4: \\ (0,-3,6,-27) + \tfrac{3}{4}(0,4,-23,28) = (0,0,6 - \tfrac{69}{4},-27 +21).
Calculando os números: 6 - \tfrac{69}{4} = \tfrac{24-69}{4} = -\tfrac{45}{4} e -27+21=-6. Então
R_4 = \left(0,0,-\tfrac{45}{4},-6\right).
A matriz está agora
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & -8\\[4pt] 0 & 4 & -23 & 28\\[4pt] 0 & 0 & 44 & -50\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{45}{4} & -6 \end{array}\right].
Simplificamos R_3 dividindo por 44 para encontrar o valor de z que R_3 exige:
R_3 \Rightarrow (0,0,1,-\tfrac{50}{44})=(0,0,1,-\tfrac{25}{22}),
isto é, a partir de R_3 obtemos a condição
z=-\tfrac{25}{22}.
R_4 dá a condição (multiplicando por 4 para eliminar a fração):
(0,0,-45,-24)\quad\text{ou seja}\quad -45z=-24 \implies z=\tfrac{24}{45}=\tfrac{8}{15}.
As duas linhas exigem valores diferentes para z: z=-\tfrac{25}{22} e z=\tfrac{8}{15}. Portanto há contradição — não existe um único valor de z que satisfaça ambas as equações derivadas das filas do sistema.]

Passo 6

Conclusão lógica da eliminação: chegamos a duas equações incompatíveis (duas linhas reduzidas que implicam valores distintos para z). Isso significa que o sistema original é inconsistente — não existe vetor \mathbf{u}=(x,y,z)^T que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Em termos da matriz aumentada, a redução produz uma linha do tipo
(0,0,0 \mid c)
com c\neq 0 (equivalente à contradição 0=c), sinalizando que o sistema não tem solução. Também reforçando: como A não é quadrada, não há inversa A^{-1} para aplicar; mesmo que tentássemos outro método direto, a inconsistência aparece na eliminação.

Resposta

O sistema é inconsistente; não existe solução (não há vetor (x,y,z) que satisfaça todas as quatro equações).