124 Na ausência de potência de eixo e troca de calor, as equações de energia e de Bernoulli são equivalentes para um escoamento incompressível e em regime permanente.
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira: “Na ausência de potência de eixo e troca de calor, as equações de energia e de Bernoulli são equivalentes para um escoamento incompressível e em regime permanente.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Não há potência de eixo (ou seja, nenhuma máquina que forneça/trabalhe energia:
).\n - Não há troca de calor com o entorno (ou seja,
).\n - Escoamento incompressível.\n
- Regime permanente (estado estacionário).\n
O que se pede: avaliar se, sob essas condições, a equação de energia e a equação de Bernoulli são equivalentes (ou seja, se uma reduz-se à outra).
Passo 2
Apresentar a forma da equação de energia para um escoamento aberto (primeira lei aplicada a volume de controle, entre duas seções 1 e 2), escrita por unidade de massa em regime permanente. Uma forma comum é:
Expliquei cada termo:
-
é a taxa de calor fornecida ao sistema (energia térmica por unidade de tempo).\n -
é a potência de eixo (trabalho de eixo fornecido ou extraído por máquinas).\n -
é a vazão mássica.\n -
é a entalpia específica (energia interna mais , por unidade de massa).\n -
é a velocidade do fluido; é a energia cinética por unidade de massa.\n -
é a cota; é a energia potencial por unidade de massa.\n -
representa perdas por efeitos irreversíveis (especialmente dissipação viscosa, atrito), que aparecem como termo de perdas de energia.
Passo 3
Aplicar as condições do enunciado à equação de energia. Substituímos
e
e dividimos a equação por
para trabalhar por unidade de massa. Assim obtemos:
Rearranjando,
Aqui vemos que, salvo o termo de perdas
, a soma entalpia + energia cinética + energia potencial é conservada entre 1 e 2.
Passo 4
Fazer a ligação entre entalpia e pressão para escoamento incompressível. Para um fluido incompressível (volume específico
constante, com
), a variação de entalpia está ligada à variação de pressão por:
Integrando entre 1 e 2 (e assumindo
constante), tem-se
Substituindo isso na expressão do Passo 3, obtemos:
Passo 5
Identificar a forma da equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli clássica (para um fluido incompressível, em regime permanente, sem atrito e sem trocas de energia) entre duas seções é:
Comparando com a expressão do Passo 4, vemos que a única diferença é o termo
. Portanto:
- Se as perdas por atrito/dissipação viscosa são nulas (ou desprezíveis), então
e a equação de energia reduz-se exatamente à equação de Bernoulli.\n - Se houver perdas (dissipação viscosa), a equação de energia contém esse termo extra e não é idêntica à forma simples de Bernoulli; nesse caso usa-se a forma de Bernoulli com termo de perda (head loss) adicionado:
Passo 6
Conclusão didática e motivação prática (e um empurrãozinho para a prova). Resumindo o que aprendemos passo a passo:
- A equação de energia é mais geral: inclui entalpia, trabalho de eixo, calor e perdas por dissipação.\n
- Bernoulli é a forma mecânica simplificada que se obtém da equação de energia quando se tem regime permanente, fluido incompressível, sem troca de calor e sem trabalho de eixo, e — crucialmente — sem perdas por atrito (ou seja, sem dissipação viscosa).\n
Na hora da prova: se te disserem “sem potência de eixo e sem troca de calor” lembre-se de verificar se também se pode desprezar perdas por atrito; só então podes afirmar que Bernoulli e a equação de energia são equivalentes. Se o enunciado não mencionar atrito, vale explicitar esse ponto na resposta.
Resposta
Verdadeiro, desde que também se despreze a dissipação viscosa (perdas por atrito).