124 Na ausência de potência de eixo e troca de calor, as equações de energia e de Bernoulli são equivalentes para um escoamento incompressível e em regime permanente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira: “Na ausência de potência de eixo e troca de calor, as equações de energia e de Bernoulli são equivalentes para um escoamento incompressível e em regime permanente.”\n
Informações dadas:
  • Não há potência de eixo (ou seja, nenhuma máquina que forneça/trabalhe energia: \dot{W}_s = 0).\n
  • Não há troca de calor com o entorno (ou seja, \dot{Q} = 0).\n
  • Escoamento incompressível.\n
  • Regime permanente (estado estacionário).\n
    O que se pede: avaliar se, sob essas condições, a equação de energia e a equação de Bernoulli são equivalentes (ou seja, se uma reduz-se à outra).

Passo 2

Apresentar a forma da equação de energia para um escoamento aberto (primeira lei aplicada a volume de controle, entre duas seções 1 e 2), escrita por unidade de massa em regime permanente. Uma forma comum é:
\dot{Q} - \dot{W}_s = \dot{m}\left(h_2 - h_1 + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} + g(z_2 - z_1)\right) + \dot{E}_{loss}
Expliquei cada termo:
  • \dot{Q} é a taxa de calor fornecida ao sistema (energia térmica por unidade de tempo).\n
  • \dot{W}_s é a potência de eixo (trabalho de eixo fornecido ou extraído por máquinas).\n
  • \dot{m} é a vazão mássica.\n
  • h é a entalpia específica (energia interna mais p v, por unidade de massa).\n
  • v é a velocidade do fluido; v^2/2 é a energia cinética por unidade de massa.\n
  • z é a cota; g z é a energia potencial por unidade de massa.\n
  • \dot{E}_{loss} representa perdas por efeitos irreversíveis (especialmente dissipação viscosa, atrito), que aparecem como termo de perdas de energia.

Passo 3

Aplicar as condições do enunciado à equação de energia. Substituímos \dot{Q}=0 e \dot{W}_s=0 e dividimos a equação por \dot{m} para trabalhar por unidade de massa. Assim obtemos:
0 = \left(h_2 - h_1\right) + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) + \frac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}.
Rearranjando,
\left(h_1 + \frac{v_1^2}{2} + g z_1\right) = \left(h_2 + \frac{v_2^2}{2} + g z_2\right) + \frac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}.
Aqui vemos que, salvo o termo de perdas \dfrac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}, a soma entalpia + energia cinética + energia potencial é conservada entre 1 e 2.

Passo 4

Fazer a ligação entre entalpia e pressão para escoamento incompressível. Para um fluido incompressível (volume específico v constante, com v = 1/\rho), a variação de entalpia está ligada à variação de pressão por:
\mathrm{d}h = v\,\mathrm{d}p \approx \frac{1}{\rho}\,\mathrm{d}p.
Integrando entre 1 e 2 (e assumindo v constante), tem-se
h_2 - h_1 = \frac{p_2 - p_1}{\rho}.
Substituindo isso na expressão do Passo 3, obtemos:
\left(\frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g z_1\right) = \left(\frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2\right) + \frac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}.

Passo 5

Identificar a forma da equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli clássica (para um fluido incompressível, em regime permanente, sem atrito e sem trocas de energia) entre duas seções é:
\frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g z_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2.
Comparando com a expressão do Passo 4, vemos que a única diferença é o termo \dfrac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}. Portanto:
  • Se as perdas por atrito/dissipação viscosa são nulas (ou desprezíveis), então \dfrac{\dot{E}_{loss}}{\dot{m}}=0 e a equação de energia reduz-se exatamente à equação de Bernoulli.\n
  • Se houver perdas (dissipação viscosa), a equação de energia contém esse termo extra e não é idêntica à forma simples de Bernoulli; nesse caso usa-se a forma de Bernoulli com termo de perda (head loss) adicionado:
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_{loss}.

Passo 6

Conclusão didática e motivação prática (e um empurrãozinho para a prova). Resumindo o que aprendemos passo a passo:
  • A equação de energia é mais geral: inclui entalpia, trabalho de eixo, calor e perdas por dissipação.\n
  • Bernoulli é a forma mecânica simplificada que se obtém da equação de energia quando se tem regime permanente, fluido incompressível, sem troca de calor e sem trabalho de eixo, e — crucialmente — sem perdas por atrito (ou seja, sem dissipação viscosa).\n
    Na hora da prova: se te disserem “sem potência de eixo e sem troca de calor” lembre-se de verificar se também se pode desprezar perdas por atrito; só então podes afirmar que Bernoulli e a equação de energia são equivalentes. Se o enunciado não mencionar atrito, vale explicitar esse ponto na resposta.

Resposta

Verdadeiro, desde que também se despreze a dissipação viscosa (perdas por atrito).